Automorphism grafico approssimativo non banale?

L'automorfismo del grafico è una permutazione dei nodi del grafico che induce una biiezione sul bordo impostato . Formalmente, è una permutazione di nodi come iff $E$ $f$ $(u,v)\in E$ $(f(u),f(v))\in E$

Definire uno spigolo violato per alcune permutazioni come spigolo che viene mappato su non-spigolo o spigolo la cui preimagine è non-spigolo.

Input : un grafico non rigido $G(V, E)$

Problema : trova una permutazione (non identitaria) che minimizza il numero di bordi violati.

Qual è la complessità di trovare una permutazione (non identitaria) con un numero minimo di fronti violati? Il problema è difficile per i grafici con un limite massimo limitato (in base a una ipotesi di complessità)? Ad esempio, è difficile per i grafici cubici? $k$

Motivazione: il problema è un rilassamento del problema dell'automorfismo grafico (GA). Il grafico di input può avere un automorfismo non banale (ad esempio un grafico non rigido). Quanto è difficile trovare un automorfismo approssimativo (permutazione dell'armadio)?

Modifica il 22 aprile

Un grafico rigido (asimmetrico) ha solo un banale automorfismo. Un grafico non rigido presenta una simmetria (limitata) e mi piacerebbe capire la complessità dell'approssimazione della sua simmetria.

— Mohammad Al-Turkistany
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Il problema è banale, la permutazione dell'identità è sempre ottimale.

— Jukka Suomela,

@Jukka, nel grafico Problema dell'automorfismo, cerchiamo un automorfismo non banale. Allo stesso modo, qui non mi interessa la permutazione dell'identità.

— Mohammad Al-Turkistany,

In realtà sto suggerendo che potresti farti la domanda sbagliata ... Forse sarebbe di aiuto se tu dicessi la tua motivazione o domanda.

— Jukka Suomela,

Il problema è un rilassamento del problema dell'automorfismo grafico (GA). Il grafico di input può avere un automorfismo non banale. Quanto è difficile trovare un automorfismo approssimativo (permutazione dell'armadio)?

— Mohammad Al-Turkistany,

Non capisco perché stai limitando a grafici non rigidi, dove il valore ottimale effettivo è zero. Nei grafici rigidi, il fattore di approssimazione può essere più interessante.

— Derrick Stolee,

Risposte:

$G$ $H$ $\epsilon$

$G$ $H$
$G$ $H$ $\epsilon \binom{n}{2}$

La metrica della complessità è il numero di sonde per le matrici di adiacenza e l'obiettivo è di distinguere i due casi con alta probabilità utilizzando un numero sublineare di sonde.

Eldar Fischer e Arie Matsliah ( grazie, Arnab ) hanno pubblicato un documento in SODA 2006 proprio su questo problema. Anche se non si collega direttamente al tuo problema, potrebbe essere un modo per una possibile formulazione del problema e potrebbe anche fornire tecniche utili per te.

— Suresh Venkat
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In effetti, anche questo problema è interessante.

— Mohammad Al-Turkistany,

Solo una correzione: quel documento è congiunto con Arie Matsliah.

— arnab,

Se consideriamo e come lo stesso grafico, possiamo essere certi di avere meno di collisioni in una permutazione non banale scambiando qualsiasi coppia di vertici. Questo è molto meno di .

G

$G$

H

$H$

2 n

$2n$

ϵ (\binom{n}{2})

$\epsilon{n\choose 2}$

— Derrick Stolee,

Un risultato di Eugene Luks ("L' isomorfismo dei grafici di valenza limitata può essere testato in tempo polinomiale ") mostra che l'isomorfismo grafico (o automorfismo) per i grafici dei gradi limitati è in tempo polinomiale. Quindi, se stai cercando un po '(non identità, come ha sottolineato Jukka) di quasi-automorfismo per grafici cubici che non sono rigidi, allora possiamo usare l'algoritmo di Luks e prendere qualsiasi automorphism non banale nel grafico.

— Ramprasad
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Ho sfogliato il documento e la mia comprensione è che risolve il problema della decisione GA di grado limitato in tempi polinomiali. La mia domanda è un problema di ottimizzazione. Inoltre, non è possibile escludere grafici rigidi.

— Mohammad Al-Turkistany,