Soluzioni di conteggio delle formule Monotone-2CNF

Una formula Monotone-2CNF è una formula CNF in cui ogni clausola è composta esattamente da 2 letterali positivi.

Ora, ho una formula Monotone-2CNF $F$. Sia $S$ l'insieme dei compiti soddisfacenti di $F$Ho anche un oracolo $O$ che è in grado di fornire le seguenti informazioni:

1. La cardinalità dell'insieme $S$ (ovvero il numero di soluzioni di $F$ ).
2. Data una variabile $x$ :
   • Il numero di soluzioni in $S$ contenenti il ​​letterale positivo $x$ .
   • Il numero di soluzioni in $S$ contenenti il ​​letterale negativo $\lnot x$ .
3. Dati 2 variabili $x_1$ e $x_2$ :
   • Il numero di soluzioni in $S$ contenenti $x_1 \land x_2$ .
   • Il numero di soluzioni in $S$ contenenti $x_1 \land \lnot x_2$ .
   • Il numero di soluzioni in $S$ contenenti $\lnot x_1 \land x_2$ .
   • Il numero di soluzioni in contenenti ¬ x 1 ∧ ¬ x 2 .$S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$

Si noti che l'oracolo è "limitato": funziona solo su F , non può essere utilizzato su una formula F ' ≠ F .$O$$F$$F' \neq F$

Domanda:

Date 3 variabili , x 2 , x 3 è possibile determinare il numero di soluzioni in S contenenti ¬ x 1 ∧ ¬ x 2 ∧ ¬ x 3 in tempo polinomiale, usando F e le informazioni fornite da O ?$x_1$$x_2$$x_3$$S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$F$$O$

Nota:

È possibile sostituire nella domanda con qualunque altra delle 8 possibili combinazioni di x 1 , x 2 , x 3 . Il problema rimarrebbe lo stesso.$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$x_1$$x_2$$x_3$

Fatto empirico:

Mi sono imbattuto nel seguente fatto empirico una settimana fa. Sia l'insieme di quelle soluzioni contenenti ¬ x 1 ∧ ¬ x 2 e sia S ¬ x 1 ∧ ¬ x 2 ∧ x 3 ⊂ S sia l'insieme di quelle soluzioni contenenti ¬ x 1 ∧ ¬ x 2 ∧ x 3 . Ora, sembra essere il caso che, se la condizione $S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$$S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3$$C$detiene, questa relazione detiene anche:

doveϕ=1.618033 ...è il rapporto aureo. La condizioneCsembra essere la seguente:"x1,x2,x3sono menzionati inFquasi lo stesso numero di volte".$\frac{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2}|}{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3}|} \simeq \phi$

$\phi = 1.618033...$$C$$x_1$$x_2$$x_3$$F$

Per usare quel fatto empirico, vuoi davvero sapere se i numeri approssimativi possono dare ad altri numeri approssimativi. Ma per il caso esatto, penso che potrebbe esserci un modo semplice per dimostrare che questo è difficile. Ecco uno schizzo.

Prima nota che gli incarichi soddisfacenti corrispondono a insiemi indipendenti in un grafico. Userò la frase "S-proiezioni di I (G)" per descrivere la funzione di mappatura al numero di insiemi indipendenti I con I ∩ S = T . Le "proiezioni k" sono le proiezioni S per tutti i sottoinsiemi S di V con | S | = k .$T \subset S$$I \cap S = T$$|S|=k$

Schema di prova:

1. Se le 2 proiezioni danno 3 proiezioni, forniscono anche k-proiezioni in polytime per ogni k.
2. Se le 2 proiezioni danno 4 proiezioni, il numero di insiemi indipendenti di un grafico è in FP, quindi FP = # P.

(1) Sia tale che le proiezioni (k-1) forniscano le proiezioni k. Dato un grafo, suoi k-proiezioni, e x 1 , . . . , X k , v ∈ G , si calcolerà le proiezioni su x 1 , . . . , x k , v .$k\geq 3$$x_1,...,x_k,v \in G$${x_1,...,x_k,v}$

Definisci il grafico collegando un nuovo vertice a v. Questo può essere visto come ponderazione v. Le proiezioni (k-1) di G ′ possono essere calcolate perché conosciamo le proiezioni k di G. Quindi abbiamo il k-proiezioni di G ′ . E questo dà x 1 , . . . , x k , v -proiezioni di G.$G'$$G'$$G'$${x_1,...,x_k,v}$

(2) Dato un grafo, ordina i bordi e definire G k avere bordi all'e 1 , . . . , e k . Le 2 proiezioni di G k + 1 possono essere calcolate dalle 4 proiezioni di G k . Il numero di set indipendenti in G 0 è 2 | G | . Iterativamente le 4 proiezioni di G possono essere calcolate in tempo polinomiale.${e_1,...,e_m}$$G_k$${e_1,...,e_k}$$G_{k+1}$$G_k$$G_0$$2^{|G|}$

Alcune osservazioni, non una risposta.

Oltre alla nota alla domanda, qualsiasi combinazione di 3 letterali può essere espressa in termini di qualsiasi altra combinazione di letterali sulle stesse variabili, insieme a un piccolo numero di termini che l'oracolo può fornire. Ciò deriva dall'esaminare il diagramma di Venn di 3 insiemi intersecanti e dall'esprimere ciascuna delle 8 regioni in termini di altre regioni. Si noti che ciò non richiede che la formula sia monotona o 2CNF.

È anche chiaro che il numero di soluzioni che soddisfano qualsiasi congiunzione di 3 litri può essere espresso come la somma di termini, ognuno dei quali è 0 o 1, esprimendo una particolare assegnazione a tutte le variabili. Ognuno di questi può essere valutato in tempo lineare, ma ci sono molti termini in modo esponenziale da valutare, quindi questo non soddisfa i requisiti.$2^{n-3}$

Quindi la domanda è davvero se è possibile sfruttare la proprietà di essere 2CNF monotona per comprimere questa espressione di dimensione esponenziale in dimensione polinomiale.

Ho cercato di esaminare una domanda più semplice, limitando l'oracolo a una semplice stringa di consigli con il numero di soluzioni, quando i conteggi per combinazioni letterali singole o a coppie non sono disponibili. Non riesco a vedere alcun modo per sfruttare la conoscenza del numero di soluzioni per ottenere un rapido calcolo del numero di soluzioni rispetto a ogni singolo letterale.

C'è qualcosa nel 2CNF monotono che consentirebbe di ottenere rapidamente il numero di soluzioni in contenente x 1 , se uno lo sapesse | S | ?$S$$x_1$$|S|$