Qual è la complessità di questo problema di percorso?

Istanza: un grafico non orientato con due vertici distinti e un numero intero . $G$ $s\neq t$ $k\geq 2$

Domanda: esiste un percorso in , tale che il percorso tocchi al massimo vertici? (Un vertice viene toccato dal percorso se il vertice si trova sul percorso o ha un vicino sul percorso.) $s-t$ $G$ $k$

cc.complexity-theory graph-theory graph-algorithms

— Andras Farago
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Questo suona come una minimizzazione sottomodulare vincolata. Sfortunatamente, non è chiaro che l'insieme di vincoli ammetta una soluzione efficiente.

— Suresh Venkat,

La mia risposta di

è stato probabilmente errato! Dopo un controllo più accurato, l'euristica non sembra essere monotona.

A^{*}

$A^*$

— usul

Seguendo il commento di Suresh, vale la pena di leggere il documento "Approssimabilità dei problemi combinatori con le funzioni di costo sottomodulare multi-agente" che mostra che il percorso più breve del costo sottomodulare è difficile. Forse ci sono idee che mostrano durezza. computer.org/csdl/proceedings/focs/2009/3850/00/…

— Chandra Chekuri

Questo problema può essere riformulata come trovare un bruco sub-grafico con al massimo

vertici che include

sul suo percorso più lungo.

k

$k$

s

$s$

t

$t$

— Obinna Okechukwu,

@Obinna, il sotto-grafico del bruco deve essere massimo in un certo senso, perché dobbiamo includere tutti i vicini del percorso più lungo

— SamM,

Risposte:

Questo problema è stato studiato in:

Shiri Chechik, Matthew P. Johnson, Merav Parter, David Peleg: problemi di connettività isolata. SEC 2013: 301-312.

http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf

Lo hanno chiamato problema del percorso appartato. È davvero NP-difficile e la versione di ottimizzazione non ha approssimazioni a fattore costante.

La motivazione fornita dagli autori è un'impostazione in cui le informazioni vengono inviate sul percorso e solo i vicini e i nodi nel percorso possono vederle. L'obiettivo è ridurre al minimo l'esposizione.

— user20655
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Modifica: vedere la risposta di user20655 di seguito per un riferimento a un documento che sta già dimostrando la durezza di questo problema. Lascerò il mio post originale, nel caso qualcuno voglia vedere questa prova alternativa.

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$X = \{x_1, x_2, \cdots\, x_n\}$ $C = \{c_1, c_2, c_3, \cdots\}$

$x_i$ $c_i$ $m = 2n+|C|$ $m$ $p_1, p_2, \cdots, p_{m}$

$s$ $t$ $x_i$ $\bar{x_i}$ $c_j$ $p_i$ $c_j$

$x_i$ $c_j$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $c_j$ $\overline{x_i}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $x_{i+1}$ $\overline{x_{i+1}}$ $s$ $x_1$ $\overline{x_1}$ $t$ $x_n$ $\overline{x_n}$ $c_i$ $p_j$

Costruzione dell'istanza difficile

$\{P_i\}$ $c_j$ $c_j$

$Q + 2n + 2$ $Q$

$s$ $t$ $y_i \in \{x_i, \overline{x_i}\}$ $y_{i+1} \in \{x_{i+1}, \overline{x_{i+1}}\}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $i \in 1, \cdots, n$ (questo è intuitivo, poiché l'eliminazione di una delle due opzioni da qualsiasi variabile scelta due volte produce un percorso valido con un costo non superiore a quello in cui ci eravamo tenuti entrambi).
$m+2$ $s, x_1, x_2, \cdots, x_n, t$ $s$ $t$ $\{x_i\}$ $\{\overline{x_i}\}$ $\{c_i\}$ $s-t$ $s$ $t$ $c_i$ $x_i$ $x_j$ $\{p\}$ $\geq m+5$
$s$ $t$ $c_j$ $c_j$ $Q$ $Q$ $c_j$
$x_i$ $\overline{x_i}$ $s$ $t$ $2n + 2$ $c_i$ $Q$

$\leq k$ $\leq k + 2n + 2$

— Yonatan N
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