Iscrizione non banale a NP

C'è un esempio di una lingua che si trova in $NP$ , ma in cui non possiamo dimostrare questo fatto direttamente dimostrando che esiste una testimonianza polinomiale per l'appartenenza a questa lingua?

Invece, il fatto che la lingua sia in $NP$ sarebbe dimostrato riducendolo in un'altra lingua in $NP$ , dove il legame tra i due non è banale e necessita di un'attenta analisi.

Più in generale, ci sono alcuni esempi interessanti di problemi in $NP$ modo che sia difficile vedere che sono in $NP$ ?

Una semi-risposta sarebbe il problema di decidere il vincitore nei giochi di parità: per dimostrare che è in $NP$ (anche $NP\cap coNP$ ), abbiamo bisogno del teorema di determinazione posizionale che è profondo e non banale. Tuttavia questa risposta non è l'ideale, perché si riduce ancora all'esistenza di un testimone polinomiale per questo esatto problema (la strategia posizionale), e non si riduce a un altro diverso problema $NP$ .

Un altro sarebbe l'algoritmo di primalità dell'AKS: decidere se un numero è primo è polinomiale, mentre a priori non c'è un piccolo testimone di questo fatto. Diciamo che escludiamo gli "algoritmi polinomiali sorprendenti", dal momento che molti di loro si adatterebbero alla descrizione sopra. Sono più interessato a sorprendenti algoritmi $NP$ che non sono deterministici.

Programmazione di numeri interi .

Ciò dimostra che se esiste una soluzione intera, esiste una soluzione intera di dimensione polinomiale. Vedere

• Christos Papadimitriou, " Sulla complessità della programmazione di numeri interi ", JACM, 1981.

Mentre il problema "è il numero di attraversamento di un grafico al massimo ?" è banalmente in NP, l'appartenenza a NP dei problemi correlati per il numero di attraversamento rettilineo e il numero di attraversamento di coppia non sono molto evidenti; cf. Bienstock, alcuni problemi di numero probabilmente incrocianti, calcolo discreto. Geometry 6 (1991) 443-459 e Schaefer et al., Riconoscimento dei grafici di stringhe in NP, J. Comput. System Sci. 67 (2003) 365-380.$k$

Il mio esempio preferito è un classico risultato del 1977 di Ashok Chandra e Philip Merlin. Hanno dimostrato che il problema di contenimento della query era decidibile per le query congiuntive. Il problema congiuntivo di contenimento delle query risulta equivalente a decidere se esiste un omomorfismo tra le due query di input. Ciò riformula un problema di semantica, che implica la quantificazione su un insieme infinito, in un sintattico, che richiede solo il controllo di un numero finito di possibili omomorfismi. Il certificato di omomorfismo ha solo una dimensione lineare e quindi il problema è in NP.

Questo teorema fornisce una delle basi della teoria dell'ottimizzazione delle query del database. L'idea è di trasformare una query in un'altra, più veloce. Tuttavia, si vuole essere certi che il processo di ottimizzazione non crei una nuova query che non riesce a fornire risposte su alcuni database in cui la query originale ha prodotto risultati.

Formalmente, una query di database è un'espressione della forma , dove è un elenco di variabili libere, è un elenco di variabili associate e è una formula di primo ordine con variabili e di una lingua con simboli di relazione. La query può contenere quantificatori esistenziali e universali, la formula può contenere congiunzione e disgiunzione di atomi relazionali e può apparire anche la negazione. Una query viene applicata a un'istanza di database , che è un insieme di relazioni. Il risultato è una serie di tuple; quando tupla$\mathbf{x}.Q(\mathbf{x},\mathbf{y})$$\mathbf{x}$$\mathbf{y}$$Q(\mathbf{x},\mathbf{y})$$\mathbf{x}$$\mathbf{y}$$Q$$I$$\mathbf{t}$ nel risultato viene sostituito con quindi la formula può essere soddisfatta. Si può quindi confrontare due query: è contenuto in se ogniqualvolta applicato ad un'istanza del database arbitrario produce dei risultati, quindi applicata alla stessa istanza produce anche alcuni risultati. (Va bene se non produce risultati ma fa, ma per il contenimento le implicazioni devono per ogni possibile istanza.) Il problema di contenimento della query richiede: date due query di database$\mathbf{x}$$Q(\mathbf{t},\mathbf{y})$$Q_1$$Q_2$$Q_1$$I$$Q_2$$I$$Q_1$$Q_2$$Q_1$e , è contenuta in ?$Q_2$$Q_1$$Q_2$

Prima di Chandra-Merlin non era affatto chiaro che il problema fosse decidibile. Usando solo la definizione, bisogna quantificare sull'insieme infinito di tutti i possibili database. Se le query non hanno restrizioni, il problema è, in effetti, indecidibile: lascia che sia una formula sempre vera, quindi è contenuto in se è valido. (Questo è il problema di Entscheidungs di Hilbert , mostrato indecidibile da Church and Turing nel 1936.)$Q_1$$Q_1$$Q_2$$Q_2$

Per evitare indecidibilità, una query congiuntiva ha una forma piuttosto limitata: contiene solo quantificatori esistenziali e negazione e disgiunzione non sono consentite. Quindi è una formula esistenziale positiva con solo congiunzione di atomi relazionali. Questo è un piccolo frammento di logica, ma è sufficiente per esprimere una grande percentuale di utili query sul database. L' istruzione classica in SQL esprime query congiuntive; la maggior parte delle query dei motori di ricerca sono query congiuntive.$Q$$Q$SELECT ... FROM

È possibile definire gli omomorfismi tra le query in modo semplice (simile all'omomorfismo grafico, con un po 'di contabilità extra). Il teorema di Chandra-Merlin dice: date due query congiunte e , è contenuta in se c'è un omomorfismo di query da a . Ciò stabilisce l'appartenenza a NP ed è semplice dimostrare che anche questo è NP-difficile.$Q_1$$Q_2$$Q_1$$Q_2$$Q_2$$Q_1$

• Ashok K. Chandra e Philip M. Merlin, Implementazione ottimale di query congiuntive in banche dati relazionali , STOC '77 77–90. doi: 10.1145 / 800105.803397

La decidibilità del contenimento delle query è stata successivamente estesa ai sindacati di query congiuntive (query positive esistenziali in cui è consentita la disgiunzione), sebbene consentire la disgiunzione aumenti la complessità a . Sono stati inoltre stabiliti risultati di decidibilità e indecidibilità per una forma più generale di contenimento delle query , che coinvolge valutazioni di semiring che si verificano quando si conta il numero di risposte, quando si combinano annotazioni in provenienza o quando si combinano i risultati di query in database probabilistici.$\Pi^P_2$

Ho trovato un buon candidato mentre leggevo alcuni articoli sulle equazioni diottofiche quadratiche:

JC Lagarias, certificati succinti per soluzioni alle equazioni binarie di diothant quadratiche (2006)

Dall'estratto: ... Sia la lunghezza della codifica binaria dell'equazione diottantina quadratica binaria data da . Supponiamo che sia una tale equazione con una soluzione intera non negativa. Questo documento mostra che esiste una prova (cioè "certificato") che ha una tale soluzione che può essere verificata nel bit operazioni. Un corollario di questo risultato è che l'insieme è nella classe di complessità NP ...$L(F)$$F$$a x_1^2 +b x_1 x_2+ c x_2^2 +d x_1+e x_2 + f = 0$$F$$F$$O(L(F)^5 \log L(F) \log \log L(F))$$\Sigma = \{F : F \text{ has a nonnegative integer solution}\}$

... ma - a dire il vero - l'unica prova che ho che non è banale è il numero delle pagine del documento ... 62! :-)

Quando il riconoscimento del riconoscimento del grafico di tolleranza era aperto, il seguente documento ha mostrato che è in NP:

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X04000940

(In seguito, il riconoscimento del grafico di tolleranza ha mostrato di essere NP completo: http://arxiv.org/abs/1001.3251 )

Decidere la raggiungibilità per vari tipi di sistemi a stato infinito è talvolta decidibile, spesso no. Per alcuni casi speciali interessanti esiste sempre un certificato sufficientemente piccolo ed efficacemente controllabile, che mette tali problemi in NP. Ecco un trattamento accurato per gli automi parametrici a un contatore:

• Christoph Haase, Stephan Kreutzer, Joël Ouaknine, James Worrell, Raggiungibilità in automi a un contatore succinti e parametrici , CONCUR 2009, LNCS 5710 369–383. doi: 10.1007 / 978-3-642-04081-8_25 ( versione estesa )

Ecco un esempio (anche se certamente artificiale) quando è molto difficile decidere se un problema è in o no. Sia in due lingue, con e . Ora definisci la lingua , come segue:$NP$$L_1, L_2$$L_1\in NP$$L_2\notin NP$$L$

Quindi proprio se la congettura dei primi gemelli è vera. Poiché la congettura è vera o no, è in effetti ben definito se o no. Tuttavia, decidere quale sia il caso, ovvero decidere l'appartenenza a , equivale a risolvere la famosa congettura sui gemelli primi, quindi è certamente non banale ...$L\in NP$$L\in NP$$NP$