La somma dei sottogruppi DAG è approssimativa?

Ci viene dato un grafico aciclico diretto con un numero associato a ciascun vertice ( ) e un numero target .$G=(V,E)$$g:V\to \mathbb{N}$$T\in \mathbb{N}$

Il problema della somma del sottoinsieme DAG (potrebbe esistere con un nome diverso, un riferimento sarà ottimo) chiede se ci sono vertici , in modo tale che e è un percorso in .$v_1,v_2,...,v_k$$\Sigma_{v_i}g(v_i) = T$$v_1\to..\to v_k$$G$

Questo problema è banalmente NP-completo, poiché il grafico transitivo completo produce il classico problema della somma dei sottogruppi.

Un algoritmo di approssimazione per il problema della somma dei sottogruppi DAG è un algoritmo con le seguenti proprietà:

1. Se esiste un percorso con somma T, l'algoritmo restituisce VERO.
2. Se non esiste un percorso che sommi un numero compreso tra e per alcuni , l'algoritmo restituisce FALSE.$(1 − c)T$$T$$c\in (0,1)$
3. Se esiste un percorso che somma un numero compreso tra e , l'algoritmo può generare qualsiasi risposta.$(1 − c)T$$T$

È noto che la somma del sottoinsieme è approssimativa in tempo polinomiale per tutti i .$c>0$

Lo stesso vale per DAG-Subset-Sum?

Mi sembra che l'algoritmo di programmazione dinamica temporale pseudo-polinomiale per il problema Somma sottoinsieme funzioni anche per questo problema. Per ogni vertice , calcoliamo l'insieme costituito da tutti i possibili valori dei percorsi terminati in . Quindi, abbiamo la relazione di ricorrenza: . Seguendo un ordine topologico, tutto il può essere calcolato nel tempo , dove è il peso totale e è il numero di spigoli.$v_i$$L_i$$v_i$$L_i=\{g(v_i)\}\cup\{x+g(v_i)\mid x\in \bigcup_{j\in prec(i)} L_j\}$$L_i$$O(Km)$$K$$m$

Penso che il ridimensionamento e l'arrotondamento standard possano essere applicati anche per derivare un FPTAS.