È una condizione equivalente per i poseti algebrici?

La definizione di "poset algebrico" in reticoli e domini continui , definizione I-4.2, afferma che, per tutti gli , $x \in L$

il set dovrebbe essere un set diretto e $A(x) = {\downarrow} x \cap K(L)$
$x = \bigsqcup ({\downarrow} x \cap K(L)$ .

Qui è un poset, è l'insieme di elementi compatti di e significa . $L$ $K(L)$ $L$ ${\downarrow} x$ $\{y \mid y \sqsubseteq x\}$

Sono stato un po 'sorpreso dalla prima condizione. Si tratta di un argomento facile dimostrare che, se e sono in allora è anche in . Quindi, tutti i sottoinsiemi finiti non vuoti di hanno limiti superiori in esso. L'unica domanda è se il sottoinsieme vuoto ha un limite superiore, ovvero se è non vuoto in primo luogo. Così, $k_1$ $k_2$ $A(x)$ $k_1 \sqcup k_2$ $A(x)$ $A(x)$ $A(x)$

È corretto sostituire la prima condizione con non vuoto? $A(x)$
Qual è un esempio di una situazione in cui è vuoto? $A(x)$

Nota aggiunta: in che modo in A (x)? In primo luogo, dal momento che e , abbiamo . In secondo luogo, e sono compatti. Quindi, qualsiasi set diretto che va "oltre" li deve "passare". Supponiamo che un set diretto vada oltre , ovvero . Dato che è andato oltre e , deve averli superati, ovvero ci sono elementi tali che e $k_1 \sqcup k_2$ $k_1 \sqsubseteq x$ $k_2 \sqsubseteq x$ $k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq x$ $k_1$ $k_2$ $u$ $k_1 \sqcup k_2$ $k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq \bigsqcup u$ $k_1$ $k_2$ $y_1, y_2 \in u$ $k_1 \sqsubseteq y_1$ $k_2 \sqsubseteq y_2$ . Dato che è un set diretto, deve avere un limite superiore per e , ad esempio . Ora, . Questo dimostra che è compatto. I due pezzi insieme dicono . $u$ $y_1$ $y_2$ $y$ $k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq y \in d$ $k_1 \sqcup k_2$ $k_1 \sqcup k_2 \in A(x)$

domain-theory

— Uday Reddy
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Dici: "se k1 e k2 sono in A (x) allora anche k1⊔k2 è in A (x)" - come lo provi?

— Artem Pelenitsyn,

@ArtemPelenitsyn: ho aggiunto il mio argomento alla domanda.

— Uday Reddy,

Per favore, correggimi se ho sbagliato, ma: nella tua nota, supponi che k1⊔k2 esista in L. Ma L è solo un poset, non un set diretto, quindi non puoi farlo.

— Artem Pelenitsyn,

Ho anche trovato il fatto che la seconda condizione è sufficiente nel cpo completo limitato qui: homepages.inf.ed.ac.uk/libkin/papers/alcpo.pdf (p. 1)

— Artem Pelenitsyn,

@ArtemPelenitsyn. Ottimo, grazie mille. Diffidare del presupposto nascosto!

— Uday Reddy,

Un esempio in cui è vuoto è l'insieme dei numeri reali con il solito ordinamento. Non ha affatto elementi compatti. $A(x)$ $\mathbb{R}$

$A(x)$ $A(x) = \emptyset$ $x$ $L$ $x \in A(x) = \emptyset$

$L$ $\mathbb{N}$ $\infty$ $\iota_1(n)$ $\iota_2(n)$ $n$

$\iota_1(m) \leq \iota_1(n) \iff m \leq n$
$\iota_2(m) \leq \iota_2(n) \iff m \leq n$
$x \leq \infty$ $x$

$\infty$

${\downarrow}x \cap K(L) \neq \emptyset$
$x = \bigvee ({\downarrow}x \cap K(L))$
${\downarrow}\infty \cap K(L) = \mathbb{N} + \mathbb{N}$

— Andrej Bauer
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Freddo. Ottimo esempio!

— Uday Reddy,