Proprietà del grafico NP-completo ereditaria, ma non additiva?

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Una proprietà del grafico viene chiamata ereditaria se chiusa rispetto all'eliminazione dei vertici (ovvero, tutti i sottografi indotti ereditano la proprietà). Una proprietà del grafico è chiamata additiva se è chiusa rispetto al prendere unioni disgiunte.

Non è difficile trovare proprietà ereditarie, ma non additive. Due semplici esempi:

$\;\;\;$ (1) Il grafico è completo.

$\;\;\;$ (2) Il grafico non contiene due cicli vertici-disgiunti.

In questi casi è ovvio che la proprietà è ereditata dai sottografi indotti, ma prendendo due grafici disgiunti che hanno la proprietà, la loro unione potrebbe non preservarla.

Entrambi gli esempi sopra riportati sono proprietà decidibili del tempo polifunzionale (sebbene per (2) sia un po 'meno banale). Se vogliamo proprietà più difficili, potrebbero comunque essere create seguendo lo schema di (2), ma sostituendo i cicli con tipi di grafici più complicati. Poi, però, si può facilmente incorrere in una situazione in cui il problema non ha nemmeno rimane in , sotto ipotesi complessità standard come . Sembra meno banale trovare un esempio che rimanga all'interno di , ma è ancora difficile. $NP$ $NP\neq coNP$ $NP$

Domanda: conosci una proprietà del grafico (preferibilmente naturale) completa ereditaria, ma non additiva? $NP$

— Andras Farago
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Hai fatto una serie di domande ora sulle proprietà "naturali". Potrebbe essere utile capire qual è la motivazione di alcune di queste domande.

— Suresh Venkat,

1

@Suresh Vorrei capire meglio cosa rende un problema naturale, al contrario di artificiale, artificiale. Penso che il concetto di naturalezza sia un ponte importante tra teoria e realtà, e vale la pena esplorarlo. Ciò che trovo interessante è che anche se non abbiamo una definizione formale di quali problemi siano "naturali", le persone di solito hanno un chiaro consenso sul fatto che un problema specifico sia naturale o meno. Forse posterò una domanda separata su questo problema, per saperne di più su come gli altri lo vedono.

— Andras Farago,

9

Penso che il problema di copertura -clique, che chiede se esiste una partizione dei vertici nei set tale che ogni set induca una cricca, abbia le proprietà desiderate. $k$ $k$

Chiaramente, prendere i sottografi indotti non può aumentare la dimensione minima di tale partizione. D'altra parte, quando prendi l'unione disgiunta di due grafici, devi prendere l'unione della partizione in cricche di ognuno.

— Vinicius dos Santos
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k

$k$

k

$k$

k

$k$

k

$k$

h e r e d i t a r y

$hereditary$

k

$k$

k

$k$

4

k

$k$

k

$k$

1

k = 3

$k=3$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

1

Considera questo problema

$G$ $P$ $Q$

Rimane NP completo anche se le proprietà sono ereditarie.

Ora chiaramente una soluzione del problema sopra riportato per un grafico fornisce anche una soluzione per i sottografi indotti. Ma prendendo l'unione di grafici della stessa famiglia di G potrebbe non essere risolto usando quella soluzione.

Ad esempio, il partizionamento di grafici generali in grafi di intervallo di unità disgiunti è NP completo ma dopo aver preso l'unione di tutti i possibili bordi (rendendo completo il grafico) risolve banalmente il problema.

— Dibyayan
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1

Si noti che la domanda cerca una proprietà che non sia additiva. Nel tuo esempio nulla sembra garantire che debbano esistere due grafici che hanno entrambi la proprietà, ma la loro unione disgiunta no.

— Andras Farago

1

$G = (V,E)$ $C_1,\ldots,C_m$ $C_i$ $V$ $E$ $C_i$

$k \geq 3$ $G$ $k$

$k = 2$

Se (1) è vero, allora dovrebbe rispondere alla tua domanda, in quanto fornisce una proprietà ereditaria, ma chiaramente non additiva.

(NOTA AGGIUNTA: la congettura (2) è diversa dalla "congettura della copertina a doppio ciclo" di Szekeres e Seymour, nonostante l'omonimato).

— Super8
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Questa proprietà non è ereditaria. La rimozione di un vertice può aumentare il numero necessario di cicli per coprire tutti i bordi, poiché il vertice rimosso può eliminare un ciclo che è stato utilizzato per coprire molti bordi. L'esempio più semplice è quando l'intero grafico è solo un ciclo. La rimozione di un vertice rende impossibile qualsiasi ciclo di copertura, poiché non rimangono cicli.

— Andras Farago

G

$G$

G

$G$

v

$v$

v

$v$

k

$k$