Durezza UGC del predicato per ?

Contesto :

Nel documento UGC originale di Subhash Khot ( PDF ), dimostra la durezza UG di decidere se una determinata istanza CSP con vincoli di tutto il modulo Non-tutti-uguali (a, b, c) su un alfabeto ternario ammette un compito soddisfacente 1 - dei vincoli o se non esistono compiti soddisfacenti dei vincoli, per arbitrariamente piccoli .$\epsilon$ϵ>$\frac{8}{9}+\epsilon$$\epsilon > 0$

Sono curioso di sapere se questo risultato è stato generalizzato per qualsiasi combinazione di vincoli -ary per e domini variabili di dimensione dove . Questo è,ℓ ≥ 3 k ≥ 3 ℓ ≠ k ≠ $\ell$$\ell \ge 3$$k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

Domanda :

Sono noti risultati sulla durezza dei dati di approssimazione per il predicato per x_i \ in GF (k) per \ ell, k \ ge 3 e \ ell \ ne k \ ne 3 ? $NAE(x_1, \dots, x_\ell)$$x_i \in GF(k)$$\ell, k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

Sono particolarmente interessato alla combinazione di valori $\ell = k$ ; ad esempio, il predicato Non tutti uguali ( $x_1, \dots, x_k$ ) per $x_1 \dots, x_k \in GF(k)$ .

Mi sono reso conto che ciò che ho affermato sopra è in effetti noto.

Per e l'arbitrario , questo è nel documento FOCS 2002 di Khot "Durezza della colorazione di ipergrafi a 3 uniformi a 3 colori" (il documento parla in realtà del generale , sebbene il titolo parli solo del 3 a colori Astuccio).$\ell = 3$$k \ge 3$$k$

Per e , infatti, è nota una durezza maggiore. Anche se in realtà esiste un'assegnazione di soli due valori alle variabili che soddisfa tutti i vincoli NAE (in altre parole l' ipergrafo uniforme può essere colorato usando 2 colori senza alcun hyperedge monocromatico), è ancora NP-difficile da trovare un'assegnazione da una dimensione di dominio che soddisfa almeno i vincoli NAE di (per costante arbitraria$\ell \ge 4$$k \ge 2$$\ell$$k$$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$$\epsilon > 0$). Ciò deriva facilmente dal fatto che il risultato di inapprossimabilità noto per la colorazione dell'ipergrafo 2 fornisce una forte dichiarazione di densità nel caso della solidità. La dichiarazione formale appare nel mio articolo SODA 2011 con Ali Sinop "La complessità di trovare set indipendenti in grafi di grado limitato (iper) di basso numero cromatico" (Lemma 2.3 nella versione finale SODA e Lemma 2.8 nella versione precedente disponibile su ECCC http://eccc.hpi-web.de/report/2010/111/ ).

Sono atterrato su questa pagina da una ricerca su NAE-3SAT.

Sono abbastanza sicuro che per il problema che stai ponendo, dovrebbe essere NP-difficile dire se l'istanza è soddisfacente o se al massimo può essere soddisfatta una frazione di vincoli. Cioè, un risultato di durezza stretto (corrispondente a ciò che la semplice scelta di un incarico casuale raggiungerebbe), per casi soddisfacenti e senza necessità dell'UGC.$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$

Per e ℓ ≥ 4 , ciò deriva dal risultato di inapprossimabilità del fattore 7/8 + epsilon di Hastad per la divisione di 4 set (che può quindi essere ridotta alla divisione di k set per k > 4 ). Se le negazioni vanno bene, si può anche usare il suo risultato di durezza stretto per Max ( ℓ - 1 ) -SAT.$k=2$$\ell \ge 4$$k > 4$$\ell-1$

Per , Khot lo ha dimostrato in un documento del FOCS 2002 "Durezza della colorazione di ipergrafi a 3 uniformi a 3 colori." (Cioè, ha rimosso l'assunto UGC originale.)$k=\ell=3$

Per e arbitrario k ≥ 3 , Engebretsen e io abbiamo dimostrato questo risultato in "La soddisfazione del vincolo su due variabili è sempre facile? Random Struct. Algorithms 25 (2): 150-178 (2004)". Tuttavia, penso che il nostro risultato richiedesse "ripiegamento", cioè i vincoli saranno effettivamente della forma NAE ( x i + a , x j + b , x k ) per alcune costanti a , b . (Questo è l'analogo del consentire negazioni delle variabili booleane.)$\ell=3$$k\ge 3$$x_i+a,x_j+b,x_k$$a,b$

Per il caso generale, non so se questo è stato scritto da nessuna parte. Ma se ne hai davvero bisogno, probabilmente posso trovare qualcosa o controllare il reclamo.

Prasad Raghavendra nel suo STOC'08 Best Paper ha dimostrato, assumendo l'ipotesi di giochi unici, che un semplice algoritmo di programmazione semidefinito fornisce la migliore approssimazione per qualsiasi problema di soddisfazione dei vincoli (incluso NAE) con vincoli sul numero costante di variabili ciascuno e con alfabeto costante. Per sapere effettivamente qual è il fattore di durezza per NAE, è necessario capire quanto bene fa il semplice algoritmo, ovvero dimostrare un gap di integrità per il programma. Non so se qualcuno lo abbia già fatto per la NAE nella sua pienezza generale o no.