Trasformazioni naturali e parametricità

In Teoremi gratis! , Wadler afferma che la caratterizzazione della parametricità può essere re-espressa in termini di trasformazioni naturali rilassate e questo sarà oggetto di un ulteriore documento. A quale documento si riferisce?

L'approccio categorico alla parametricità che conosco utilizza trasformazioni dinaturali come nel polimorfismo di Functorial di Bainbridge, Freyd, Scedrov e PJ Scott. Qual è la connessione tra le trasformazioni naturali rilassate e le trasformazioni dinaturali della parametria?

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— sonat
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Ho quasi paura di fare questo commento, ma confesso che non capisco nessuna parola tecnica in questa domanda. Potrebbe essere possibile aggiungere alcuni collegamenti alle definizioni per questo (orribile) esperto?

— Suresh Venkat,

Sembra un lavoro per @UdayReddy.

— Dave Clarke,

Per quanto ne so, l'articolo citato in Teoremi gratis! è stato (purtroppo) mai scritto. Sono abbastanza sicuro che l'attuale comprensione della parametria in termini di teoria delle categorie sia meglio catturata da Scones e categorie di virgola . Vedi ad esempio Mitchell & Scedrov e questo post Café di categoria n.

— cody

Suresh, scusa per non aver fornito i link pertinenti. Cody, grazie per aver modificato il post e menzionato focaccine e categorie di virgole.

— Sonat,

Sfortunatamente, l'osservazione di Wadler è troppo enigmatica per me per dire a che uso voleva "trasformazioni naturali rilassate". Ecco un'ipotesi. I quadrati di conservazione delle relazioni possono spesso essere rifusi come quadrati commutativi rilassati. Questo era il modo in cui erano scritti in vecchi documenti / libri di teoria degli automi. Vedi il paragrafo 1.2 nelle mie note sui semigruppi . Per fare questo genere di cose, devi mescolare relazioni e morfismi e fingere che siano uguali. Inoltre non sono sicuro che ti comprerà qualcosa di nuovo. È solo una brutta notazione per dire la stessa cosa della conservazione delle relazioni.

Sentiti libero di esplorare la connessione, ma non sono sicuro che troverai qualcosa di nuovo facendolo.

— Uday Reddy
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Grazie mille per il link. La formulazione nel paragrafo 1.2 mi è ancora teorica. Come parli dell'inclusione? Supponi che la categoria sia un'allegoria o che abbia proprietà simili a quelle di un topos? Se questa è una riforma delle trasformazioni naturali rilassate, qual è la 2-categoria sottostante? Ho anche letto la parte "Classificazione" ma non ho trovato nulla sulle trasformazioni naturali rilassate.

— Sonat,

x \to y

$x \to y$

x \leq y

$x \leq y$

f \to g

$f \to g$

f \leq g

$f \leq g$

R \subseteq S : Rel (A, B)

$R \subseteq S : \textbf{Rel}(A,B)$

Oh, quindi la categoria è fissa! Pensavo che Wadler si riferisse a una formulazione più generale e astratta che ha senso in una certa classe di categorie che contengono Rel come un caso speciale (e in qualche modo banale). Se stiamo lavorando solo in Rel non ha senso introdurre una struttura più alta ma degenerata. Ora capisco la tua risposta originale.

— Sonat,

@ SonatSüer: se sei interessato a generalizzazioni, il modo standard per generalizzare le relazioni con categorie diverse da Set è di trattarle come "campate congiunte". Potresti ottenere una categoria arricchita in preordine invece che arricchita in poset, ma la struttura a 2 categorie è sempre la stessa.

— Uday Reddy,

@ SonatSüer: E, se sei veramente interessato a una corretta teoria assiomatica che copre tutto ciò che conosciamo, posso rimandarti al nostro recente documento Rapporti logici e parametricità - Un programma di Reynolds .

— Uday Reddy,