Il riferimento per le lingue Dyck essendo completo

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Lingue Dyck è definito dalla seguente grammatica sull'insieme di simboli . Intuitivamente lingue Dyck sono le lingue di parentesi equilibrato di diverso tipo. Ad esempio, è in ma non lo è. $\mathsf{Dyck}(k)$

S \to S S | (_{1} S)_{1} | \dots | (_{k} S)_{k} | ϵ

$S \rightarrow SS \,|\, (_1 S )_1 \,|\, \ldots \,|\, (_k S )_k \,|\, \epsilon$

{(_{1}, \dots, (_{k},)_{1}, \dots,)_{k}}

$\{(_1,\ldots,(_k,)_1,\ldots,)_k\}$

k

$k$

([]) ()

$(\,[\,]\,)\,(\,)$

D y c k (2)

$\mathsf{Dyck}(2)$

([)]

$(\,[\,)\,]$

Nel documento

Algoritmi dinamici per le lingue Dyck di Frandsen, Husfeldt, Miltersen, Rauhe e Skyum, 1995,

si afferma che il seguente risultato è folklore:

$\mathsf{Dyck}(k)$ è -completo sotto le . $\mathsf{TC}_0$ $\mathsf{AC}_0$

Esistono riferimenti noti per la rivendicazione di cui sopra? In particolare, sto cercando qualsiasi risultato che mostri almeno uno dei seguenti:

$\mathsf{Dyck}(k)$ è in per arbitrario . $\mathsf{TC}_0$ $k$
$\mathsf{Dyck}(k)$ è -hard per arbitrario . $\mathsf{TC}_0$ $k$

Il documento più vicino che riesco a trovare è

Bi-Lipschitz Bijection tra il cubo booleano e Hamming Ball , di Benjamini, Cohen e Shinkar, 2013

che mi reindirizza al documento Riconoscimento dello spazio del registro e traduzione delle lingue tra parentesi da parte di Lynch, che ha dimostrato che (ovvero parentesi bilanciate normali) è in . $\mathsf{Dyck}(1)$ $\mathsf{TC_0}$

Anche i documenti correlati sono i benvenuti. Grazie!

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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Vedi "Sulla complessità relativa di alcune lingue in di Barrington, Corbett $\mathsf{NC}^1$

— Samid
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Ecco una riduzione da a . (Ciò implica che la è riducibile a per tutti i ) Per farlo, costruiamo un circuito a profondità costante poli-dimensioni le cui porte sono , , e . $AC_0$ $\rm Majority$ $Dyck(1)$ $\rm Majority$ $AC_0$ $Dyck(k)$ $k \geq 1$ $AND$ $OR$ $NOT$ $Dyck(1)$

Data un'istanza di fa $x \in \{0,1\}^n$ $\rm Majority$
Calcola sostituendo ogni con e ogni con . $y \in \{0,1\}^{2n}$ $0$ $(($ $1$ $()$
Ora per ogni lascia che sia la stringa ottenuta concatenando con molte parentesi chiuse, cioè . $i = 1,\dots, n/2$ $z_i$ $y$ $2i$ $z_i = y \circ )^{2i}$
Se per alcuni quindi ACCETTA. Altrimenti, REJECT. $z_i \in Dyck(1)$ $i = 1,\dots, n/2$

Questo può essere chiaramente fatto con un circuito a profondità costante. (Il calcolo di può essere eseguito in profondità 1 e il calcolo dell'ultimo passaggio viene effettuato utilizzando un gate .) $z_i$ $OR$

È anche facile vedere che questo circuito calcola davvero la perché se e solo se . $\rm Majority$ $z_i \in Dyck(1)$ ${\rm weight}(x) = n - i$

— Igor Shinkar
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Grazie. Conosci qualche documento che contiene il risultato sopra? (Va bene se il documento non è l'originale / il primo, sto cercando di risalire alla storia.)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Hmmm ... per qualche ragione ho pensato che una simile riduzione fosse apparsa in quel documento di Lynch ... Non conosco nessun altro riferimento per questo.

— Igor Shinkar,