Quanti casi di 3-SAT sono soddisfacenti?

28

Considera il problema 3-SAT su n variabili. Il numero di possibili clausole distinte è:

C = 2 n \times 2 (n - 1) \times 2 (n - 2) / 3! = 4 n (n - 1) (n - 2) / 3 .

$C = 2n \times 2(n-1) \times 2(n -2) / 3! = 4 n(n-1)(n-2)/3 \text.$

Il numero di istanze del problema è il numero di tutti i sottogruppi della serie di possibili clausole: . In sostanza, per ogni , esiste almeno un'istanza soddisfacente e un'istanza insoddisfacente. È possibile calcolare, o almeno stimare, il numero di istanze soddisfacenti per ogni dato n? $I = 2^C$ $n \ge 3$

cc.complexity-theory sat

— Antonio Valerio Miceli-Barone
fonte

Vedi anche la domanda correlata cstheory.stackexchange.com/q/14953

— András Salamon,

Ti dispiace spiegare come ottieni la formula di conteggio? Da dove viene il 3! vieni, ecc?

— Yan King Yin,

Un'altra domanda da principiante: se il numero totale di configurazioni (ovvero assegnazioni di verità) è

, ciò significa che molte assegnazioni di verità non possono essere espresse da nessuna istanza del problema. Ciò è controintuitivo per la mia conoscenza che le formule booleane sono complete, nel senso che possono esprimere qualsiasi tabella di verità. Qual è il trucco qui?

2^{2^{n}} ≫ 2^{C}

$2^{2^n} \gg 2^C$

— Yan King Yin,

27

Una lunga storia di lavoro sulle transizioni di fase in SAT ha dimostrato che per ogni fisso , esiste una soglia parametrizzata dal rapporto tra numero di clausole e che decide di soddisfacimento. In parole povere, se il rapporto è inferiore a 4,2, allora con enorme probabilità l'istanza è soddisfacente (e quindi una frazione enorme del numero di istanze con queste molte clausole e variabili è soddisfacente). Se il rapporto è leggermente superiore a 4,2, vale il contrario: una frazione schiacciante di casi è insoddisfacente. $n$ $n$

I riferimenti sono troppi da citare qui: una fonte di informazione è il libro di Mezard e Montanari . Se qualcuno ha fonti per sondaggi ecc. Su questo argomento, potrebbe pubblicarlo nei commenti o modificare questa risposta (lo farò in CW)

Riferimenti:
- Rilievo di Achlioptas
- Dove si trovano i problemi veramente difficili
- Raffinare la transizione di fase nella ricerca combinatoria

— Suresh Venkat
fonte

È molto interessante. Qual è la "probabilità schiacciante?" È qualcosa del 75% o del 99.9999%?

— Philip White,

Non ricordo, a dire il vero. è parametrizzato dalla distanza del rapporto dal punto di commutazione e si comporta come un sigmoide (quindi arriva a 1 molto rapidamente). I sondaggi collegati probabilmente hanno maggiori dettagli

— Suresh Venkat,

1

@Philip, Suresh: Sì, è una "discontinuità" molto rapida. Se vedi i grafici, la probabilità di essere soddisfatti cambia bruscamente da quasi 1 a quasi 0. È interessante notare che la soglia dipende da

. Inoltre, è interessante che tutto questo comportamento sembri valere solo per istanze casuali.

k

$k$

— Giorgio Camerani,

17

Da un lato, la stragrande maggioranza dei i casi saranno insoddisfacenti, come detto nel commento di Suresh. (In effetti, suppongo che se campionate una di queste istanze in modo uniforme a caso, dovreste già avere una buona probabilità di includere tutte e otto le negazioni come clausole per alcune variabili triple, cioè banalmente insoddisfacenti.) $2^{|C|}$

D'altra parte, si possono abbassare-confine il numero di istanze soddisfacibili per il numero che sono soddisfatta dalla tutto da zero assegnazione: questi sarebbero , poiché per ogni tripletta di variabili esiste una clausola che non è possibile utilizzare. $2^{(7/8)|C|}$

Si può quindi limitare il numero di casi soddisfacenti moltiplicandolo per . Dal , suppongo che questo cambi solo un termine di ordine minore già ... $2^n$ $|C|=O(n^3)$

— Magnus Wahlström
fonte

Quando ho iniziato i miei studi di dottorato, ho dimostrato che se il numero di clausole per SAT fosse maggiore di

tali casi sarebbero insoddisfacenti. Ho anche dimostrato che se il numero di clausole fosse compreso nell'intervallo

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

3^{n} - 2^{n} - 2^{n - 1}

$3^n-2^n-2^{n-1}$

<

$<$

n u m b e r o f c l a u s e s

$number of clauses$

\leq

$\leq$

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$ allora quei casi erano o unicamente soddisfacenti o insoddisfacenti. Non ricordo la derivazione per 3-SAT nella parte superiore della mia testa. Ok

— Tayfun paga il

4

Questa risposta riguarda solo il tasso di crescita del numero di casi soddisfacenti.

Un set è scarso se il numero di stringhe n-bit nel set è limitato da (per qualche costante ), altrimenti è denso. È noto che soddisfacibilità (NP-completo) e Insoddisfacente (CoNP-completo) sono entrambi insiemi densi. Esiste sparse insiemi -Complete IFF . $A$ $O(n^k)$ $k$ $NP$ $P=NP$

— Mohammad Al-Turkistany
fonte