Cricca piantata in G (n, p), variabile p

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Nel problema della cricca piantata, si deve recuperare un -clique piantato in un grafico casuale Erdos-Renyi . Questo è stato principalmente cercato per , nel qual caso è noto che è risolvibile in termini di tempo polinomiale se e congetturato per . $k$ $G(n,p)$ $p=\frac{1}{2}$ $k > \sqrt{n}$ $k< \sqrt{n}$

La mia domanda è: cosa si sa / si crede di altri valori di ? In particolare, quando è una costante in ? Esistono prove del fatto che, per ogni valore di , esiste qualche per il quale il problema è computazionalmente difficile? $p$ $p$ $[0,1]$ $p$ $k=n^{\alpha}$

I riferimenti sarebbero particolarmente utili, poiché non sono riuscito a trovare alcuna letteratura che analizzi il problema per valori diversi da . $p=\frac{1}{2}$

cc.complexity-theory approximation-algorithms approximation-hardness

— srd
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sì, è difficile per alcuni parametri basati sul fenomeno del punto di transizione completo NP che è più studiato per SAT ma vale anche per il problema della cricca ed è stato studiato un po '/ meno così lì. questo è strettamente correlato alla ricerca di limiti inferiori sui circuiti monotoni per il problema della cricca e le funzioni di taglio. ci sono alcune domande correlate sul sito, possono scavarle. il recente articolo di Rossman sulla durezza della funzione cricca è rilevante. ecc ... potrebbe rispondere più tardi a seconda che si presentino gli altri ...

— vzn

questa durezza Q / A della cricca parametrizzata tcs.se dovrebbe rispondere direttamente alla tua domanda. risposta in Teorical Computer Science Chat per ulteriori discussioni

— vzn

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Grazie. Mi preoccupavo principalmente della versione con impianto, e non della versione peggiore (che, come dici tu, è NP completa per p costante).

— SRD

ok, sembra che la "cricca piantata" sia generalmente limitata a G (n, ½) come affermi come in questo recente documento Algoritmi statistici e un limite inferiore per la rilevazione della cricca piantata di Feldman et al. che la considera e cita riferimenti correlati ma ancora considerare p ≠ ½. il problema generale sembra essere "vicino" alla ricerca di cricche di una certa dimensione in un grafico G (n, p) per alcune scelte di parametri (il successivo è apparentemente molto più studiato come nel tcs.se pg collegato) ma non ha mai visto che connessione evidenziata o elaborata / dettagliata altrove.

— vzn,

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Se è costante, la dimensione della cricca massima nel modello è quasi ovunque un multiplo costante di , con la costante proporzionale a . (Vedi Bollobás, p.283 e Corollario 11.2.) La modifica di dovrebbe quindi influire sulla durezza di piantare una cricca con vertici fintanto che la cricca è troppo piccola perché un approccio algoritmico esistente funzioni. Pertanto mi aspetto che con una costante di la durezza di Planted Clique dovrebbe comportarsi esattamente come il caso , sebbene sia possibile che il caso di molto vicino a 0 o 1 possa comportarsi diversamente. $p$ $G(n,p)$ $\log n$ $\log (1/p)$ $p$ $\omega(\log n)$ $p \ne 1/2$ $p=1/2$ $p$

In particolare, per applica la stessa soglia di per per la dimensione della cricca piantata, al di sopra della quale il problema diventa polinomiale. Il valore di qui è (e non qualche altro valore) perché la funzione theta Lovász di è quasi sicuramente compresa tra e , a seguito di Juhász. L'algoritmo di Feige e Krauthgamer utilizza la funzione theta Lovász per trovare e certificare una cricca più grande, quindi si basa su questa soglia per la cricca piantata. $p\ne 1/2$ $\Omega(n^{\alpha})$ $\alpha = 1/2$ $\alpha$ $1/2$ $G(n,p)$ $0.5\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$ $2\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$

Naturalmente, potrebbe esserci un algoritmo diverso che non utilizza la funzione theta di Lovász, e che per valori di lontani da può trovare una cricca piantata con dire vertici. Per quanto ne so, è ancora aperto. $p$ $1/2$ $n^{1/3}$

Feige e Krauthgamer discutono anche quando non è costante ma dipende da ed è vicino a 0 o vicino a 1. In questi casi esistono altri approcci per trovare cricche piantate e la dimensione della soglia è diversa. $p$ $n$

Béla Bollobás, Random Graphs (2a edizione), Cambridge University Press, 2001.
Ferenc Juhász, Il comportamento asintotico della funzione di Lovász per grafici casuali $\vartheta$ , Combinatorica 2 (2) 153–155, 1982. doi: 10.1007 / BF02579314
Uriel Feige e Robert Krauthgamer, Trovare e certificare una grande cricca nascosta in un grafico semirandom , Random Structures & Algorithms 16 (2) 195–208, 2000. doi: 10.1002 / (SICI) 1098-2418 (200003) 16: 2 <195 :: AID-RSA5> 3.0.CO; 2-A

— András Salamon
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Grazie. Questo sembra riassumere lo stato dell'arte e confermare che non si sa nulla di troppo definitivo. La migliore evidenza che il problema si comporta in modo simile sembra essere il valore della funzione theta di Lovasz, come sottolineato.

— SRD

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la cricca piantata per è un caso speciale di questo problema e dei nuovi risultati (limiti inferiori) come indicato su p2 ecc. e include riferimenti correlati. (2015) $p \neq \frac{1}{2}$

Mostriamo che, assumendo l'ipotesi del tempo esponenziale (deterministico), distinguendo tra un grafico con un -clique indotto e un grafico in cui tutti i -subgraph hanno densità al massimo , richiede ora. $k$ $k$ $1 −\varepsilon$ $n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$

Durezza ETH per Densest- -Subgraph con perfetta completezza $k$ / Braverman, Ko, Rubinstein, Weinstein

— VZN
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ecco un nuovo articolo che ha un algoritmo per p ≠ ½ arbitrario basato su un algoritmo SVD. vedere p.4 per l'analisi della cricca nascosta (piantata).

UN SEMPLICE ALGORITMO SVD PER TROVARE PARTENZE NASCOSTE Van Vu

Astratto. Trovare una partizione nascosta in un ambiente casuale è un problema generale e importante, che contiene come sottoproblemi molte domande famose, come trovare una cricca nascosta, trovare una colorazione nascosta, trovare un bipartito nascosto ecc. In questo documento, forniamo un semplice SVD algoritmo per questo scopo, rispondendo a una domanda di McSherry. Questo algoritmo è molto semplice da implementare e funziona con grafici sparsi con densità ottimale.

— VZN
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Funziona anche per , ma non per arbitrario . Nota anche che per costante , la cricca nascosta deve essere di dimensioni .

p = 1 / 2

$p=1/2$

p

$p$

p

$p$

Ω (\sqrt{n})

$\Omega(\sqrt{n})$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen,

non dire che è la risposta esatta / definitiva, solo qualche miglioramento rispetto ad altri limiti solo di altri documenti. analizza una vasta gamma di valori sottoposti a vincoli vari (incl. dimensione della cricca), dettagli nel documento. la domanda non sembra così severa su quale sia il vincolo di combinazione esatta / simultanea dimensione cricca / . (il documento non copre davvero alcuni dei casi richiesti? o stai interpretando la domanda come strettamente restrittiva ?)

p = ½

$p=½$

p

$p$

p

$p$

p \neq ½, k = n^{α}

$p≠½, k=n^\alpha$

α

$\alpha$

— vzn