Complessità computazionale di pi

Permettere

$L = \{ n : \text{the }n^{th}\text{ binary digit of }\pi\text{ is }1 \}$

(dove è pensato come codificato in binario). Quindi cosa possiamo dire della complessità computazionale di ? È chiaro che . E se non sbaglio, gli incredibili algoritmi di "tipo BBP" per calcolare il bit di usando il tempo quasilineare e la memoria , senza bisogno di calcolare i bit precedenti, producono . $n$ $L$ $L\in\mathsf{EXP}$ $n^{th}$ $\pi$ $(\log n)^{O(1)}$ $L\in\mathsf{PSPACE}$

Possiamo fare ancora meglio e posizionare (diciamo) nella gerarchia dei conteggi? Nell'altra direzione, c'è qualche risultato di durezza per (anche estremamente debole, come -hardness)? $L$ $L$ $\mathsf{TC}^0$

Un linguaggio correlato interessante è

$L' = \{ \langle x,t\rangle : x\text{ occurs as a substring within the first }t\text{ digits of }\pi \}$

(dove di nuovo, è scritto in binario). abbiamo $t$

$L' \in \mathsf{NP}^L$

e quindi ; Sarei estremamente interessato se si sapesse qualcosa di meglio. $L' \in \mathsf{PSPACE}$

cc.complexity-theory na.numerical-analysis

— Scott Aaronson
fonte

(1) Perché è il numero trascendentale più famoso e si sa molto al riguardo. (2) Perché volevo un esempio concreto. (Naturalmente, sarei anche molto interessato alle domande analoghe per , , ecc., In qualunque misura le risposte differiscano.) (3) Perché, per Chaitin , conosco già la risposta : vale a dire, calcolare la cifra binaria è imputabile! (E suppongo sia possibile dare una riduzione dimostrando che il problema della ricerca di sottosequenza è impensabile anche per ... qualcuno vede come?)

$\pi$

$e$

$\sqrt{2}$

$\Omega$

$n^{th}$

$\Omega$

— Scott Aaronson,

@ScottAaronson, penso che possiamo iterare su tutte le stringhe di lunghezza e chiedere se è nella lingua; questo ci tutti i primi dà bit di .

$x$

$t$

$\langle x, t \rangle$

$t$

$\Omega$

— usul

Ho un linguaggio simile alla "teoria dei numeri": :-)

$L = \{ n \mid \text{ the second lower bit of the }n\text{-th prime number is } 1\}$

— Marzio De Biasi

A proposito, ho controllato Weihrauch, alla fine della sezione 7.2 si afferma che l'ennesima parte delle funzioni trigonometriche e i loro inversi possono essere calcolati nel tempo usando la rappresentazione firmata -digit (consentendo in oltre a e come cifra) su sottoinsiemi compatti del loro dominio. ( è la complessità della moltiplicazione di numeri interi binari.)

$t_m(n) \lg n$

$-1$

$0$

$1$

$t_m$

— Kaveh

cs.nyu.edu/exact/doc/pi-log.pdf

— sdcvvc

OK, James Lee mi ha indicato questo articolo del 2011 di Samir Datta e Rameshwar Pratap, che dimostra che la mia lingua (che codifica le cifre di ) è al quarto livello della gerarchia di conteggio ( ; grazie a SamiD qui sotto per aver segnalato un mancante nel documento, che avevo semplicemente ripetuto nella mia risposta! ). L'articolo discute anche esplicitamente la mia domanda di limiti inferiori sulla complessità del calcolo delle cifre binarie di numeri irrazionali, sebbene riesca solo a dimostrare un limite inferiore molto debole per il calcolo delle cifre binarie di numeri razionali . Questo e 'esattamente quello che stavo cercando. $L$ $\pi$ $\mathsf{PH}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}}}}$ $\mathsf{PP}$

Aggiornamento (3 aprile): Una divertente conseguenza delle cifre di calcolabili nella gerarchia dei conteggi è la seguente. Supponiamo che sia un numero normale (la cui espansione binaria converge rapidamente in "effettivamente casuale"), e supponiamo che (con la simulazione che coinvolge solo un piccolo overhead polinomiale). Quindi sarebbe possibile programmare il tuo computer per trovare, ad esempio, la prima occorrenza delle opere complete di Shakespeare nell'espansione binaria di . Se ti sembra assurdo, allora forse dovrebbe essere preso come ulteriore prova che . :-) $\pi$ $\pi$ $\mathsf{P} = \mathsf{PP}$ $\pi$ $\mathsf{P} \ne \mathsf{PP}$

— Scott Aaronson
fonte

OK, ma dice che devo aspettare 5 ore prima di farlo!

— Scott Aaronson,

A proposito, il documento sopra menzionato riduce sostanzialmente il problema a e cita erroneamente il limite come . Il limite più noto è attualmente come mostrato qui: eccc.hpi-web.de/report/2013/177

$\mathsf{BitSLP}$

$\mathsf{PH^{PP^{PP}}}$

$\mathsf{PH^{PP^{PP^{PP}}}}$

— SamiD