Le riduzioni dovrebbero renderci più o meno ottimisti per la trattabilità di un problema?

Mi sembra che la maggior parte dei teorici della complessità generalmente credano alla seguente regola filosofica:

Se non siamo in grado di capire un algoritmo efficace per il problema , e siamo in grado di ridurre il problema A al problema B , allora probabilmente non è un algoritmo efficace per il problema B , neanche.$A$$A$$B$$B$

Questo è il motivo per cui, ad esempio, quando un nuovo problema è dimostrato NP-completo abbiamo semplicemente file via come "troppo dura", piuttosto che ricevendo entusiasta di un nuovo approccio (problema ) che potrebbe finalmente mostrare P = N P .$B$$P = NP$

Ne stavo discutendo con uno studente universitario in un altro campo scientifico. Ha trovato questa idea estremamente controintuitiva. La sua analogia:

Sei un esploratore, alla ricerca di un ponte tra i continenti nordamericani e asiatici. Per molti mesi hai provato e non sei riuscito a trovare un ponte di terra dalla terraferma degli Stati Uniti all'Asia. Quindi scopri che gli Stati Uniti continentali sono collegati via terra con l'area dell'Alaska. Ti rendi conto che un ponte terrestre dall'Alaska all'Asia implicherebbe un ponte terrestre dagli Stati Uniti continentali all'Asia, che sicuramente non esiste. Quindi non perdi tempo ad esplorare vicino all'Alaska; vai a casa.

La nostra precedente regola filosofica suona piuttosto sciocca in questo contesto. Non riuscivo a pensare a una buona confutazione! Quindi lo sto consegnando a voi ragazzi: perché dovremmo considerare una riduzione come un problema B più difficile piuttosto che un problema A più facile?$A \to B$$B$$A$

Penso che questa sia un'ottima domanda. Per rispondere dobbiamo renderci conto che:

• non tutte le riduzioni sono uguali,
• per sentirci ottimisti, dobbiamo imparare qualcosa di veramente utile.

In genere, ogni volta che scopriamo una riduzione non banale , rientra in una delle seguenti categorie:$A \to B$

1. Abbiamo imparato qualcosa di utile sul problema A (e nulla sul problema B).
2. Abbiamo imparato qualcosa di scoraggiante sul problema B (e nulla sul problema A).

Un po 'più precisamente, questi due casi possono essere caratterizzati come segue:

1. Abbiamo scoperto che il problema A ha una struttura nascosta, che consente di progettare un nuovo algoritmo intelligente per risolvere il problema A. Dobbiamo solo sapere come risolvere il problema B.

2. Ci siamo resi conto che in alcuni casi speciali, il problema B è fondamentalmente solo il problema A mascherato. Ora possiamo vedere che qualsiasi algoritmo per risolvere il problema B deve risolvere correttamente almeno questi casi speciali; e risolvere questi casi speciali equivale essenzialmente a risolvere il problema A. Siamo tornati al punto di partenza: per fare progressi con il problema B, dobbiamo prima fare qualche progresso con il problema A.

Le riduzioni di tipo 1 sono comuni nel contesto di risultati positivi e questi sono certamente buoni motivi per sentirsi ottimisti.

Tuttavia, se si considerano le riduzioni di durezza che riscontriamo nel contesto, ad esempio, delle prove di durezza NP, sono quasi sempre di tipo 2.

Si noti che anche se non si conosce nulla della complessità computazionale del problema A o del problema B, è comunque possibile stabilire se la riduzione è di tipo 1 o di tipo 2. Pertanto non è necessario credere, ad esempio, da P ≠ NP a determinare se dovremmo sentirci ottimisti o pessimisti. Possiamo solo vedere ciò che abbiamo imparato grazie alla riduzione.

Ciò che manca all'analogia è una nozione delle distanze relative coinvolte. Sostituiamo l'Alaska nella nostra analogia con la luna:

Sei un esploratore, alla ricerca di un ponte tra i continenti nordamericani e asiatici. Per molti mesi hai provato e non sei riuscito a trovare un ponte di terra dalla terraferma degli Stati Uniti all'Asia. Quindi scopri che gli Stati Uniti continentali sono collegati via terra alla luna. Sei già sicuro che la luna sia a grande distanza dall'Asia, quindi ora puoi essere sicura che anche l'America del Nord è a grande distanza dall'Asia dalla disuguaglianza del triangolo.

Non è vero che consideriamo sempre i teoremi di riduzione come dichiarazioni di durezza. Ad esempio, negli algoritmi spesso riduciamo un problema a LP e SDP per risolverli. Questi non sono interpretati come risultati di durezza ma come risultati algoritmici. Tuttavia, sebbene siano tecnicamente riduzioni, spesso non ci riferiamo a queste come tali. Ciò che intendiamo per riduzione è di solito una riduzione ad alcuni problemi (NP-) difficili.

$A$$B$$A$$B$$B$$A$$A$$A$$B$$B$. La maggior parte dei ricercatori trova più probabile che P non sia uguale a NP e congettura persino che SAT richieda tempo esponenziale. In altre parole, si ritiene che SAT sia molto difficile. Se si accettano queste congetture, è del tutto ragionevole considerare le riduzioni che provano l'universalità di un problema per NP poiché il problema è difficile. (Perché i ricercatori ritengono che P non sia uguale a NP più probabilmente è un problema diverso, ci sono stati diversi post di blog su blog di teoria al riguardo.)

Parte del motivo per cui sostituiamo il limite inferiore con i risultati dell'universalità (cioè c'è una riduzione da ogni problema in una classe al problema) è la nostra mancanza di successo nel dimostrare buoni limiti inferiori generali (è coerente con lo stato attuale delle conoscenze che SAT può essere risolto in tempo deterministico lineare).

In realtà, la scoperta dell'Alaska avrebbe l'effetto opposto, almeno all'inizio. Dal momento che si estende in modo da far west, renderebbe la gente pensa che, hey, forse c'è un ponte di terra, dopo tutto (l'analogia dell'essere, hey, forse P  =  NP in quanto questo nuovo NP sguardi problema -Complete come un tale buon candidato per avere una soluzione a tempo polinomiale). Tuttavia, una volta che l'Alaska fosse stata esplorata a fondo e non fosse stato trovato alcun ponte di terra, la gente sarebbe probabilmente più convinta di prima che l'Asia e le Americhe siano separate.

la domanda introduce una particolare analogia / metafora non molto utilizzata dagli esperti e si concentra solo su P / NP e non menziona altre classi di complessità, mentre gli esperti tendono a vederlo come un grande universo interconnesso di entità come nel notevole diagramma creato da Kuperberg . sarebbe bello compilare un ampio elenco di analogie di classi di complessità, ci sono molte analogie di questo tipo. parla di "archiviare" problemi comprovati come NP completi e "entusiasmo per i nuovi approcci".

si può capire che c'è stata una "eccitazione" iniziale nello scoprire la classe completa NP, ma un po 'di "eccitazione" è svanita dopo oltre quattro decenni di intenso sforzo per dimostrare che P ≠ NP sembra non essere andato da nessuna parte promettente e alcuni ricercatori ritengono che noi non sono più vicini. la storia è piena di ricercatori che hanno trascorso lunghi anni a lavorare su problemi senza alcuno o molti progressi apparenti a volte con rimpianti successivi. così NP complete può servire (per prendere in prestito l'analogia di Aaronson) come una sorta di "recinzione elettrica", un avvertimento / avvertimento non essere troppo coinvolti nei tentativi (qui letteralmente, in più di un modo) di problemi "intrattabili".

è vero che esiste ancora un aspetto importante della "catalogazione" dei problemi NP completi che continua. tuttavia, continua la massiccia ricerca "a grana fine" sui principali problemi NP completi (SAT, rilevazione della cricca, ecc.). (in realtà un fenomeno molto simile si verifica con problemi indecidibili: una volta dimostrato indecidibile, è come se fossero governati come "terra di nessuno" per ulteriori indagini.)

quindi tutti i problemi NP completi sono dimostrati equivalenti per quanto riguarda la teoria attuale e questo a volte si manifesta in congetture sorprendenti come il Berman-Hartmanis congettura dell'isomorfismo di . i ricercatori sperano che questo cambierà un giorno.

questa domanda è etichettata soft-questioncon una buona ragione. non troverete scienziati seri che discutono molto delle analogie nei loro articoli, che si rivolgono alla scienza popolare , preferendo invece concentrarsi sulla precisione / rigore matematici (e come sottolineato nelle linee guida di comunicazione per questo gruppo). tuttavia c'è un valore qui per educare e comunicare con estranei / laici.

ecco alcune "contro-analogie" per i non addetti ai lavori insieme a "ricerche conducono" ai concetti. questo potrebbe essere trasformato in un elenco più lungo.

• c'è un'analogia dei territori nella domanda. ma rende più senso pensare a grandi regioni della teoria della complessità compresi entro classi note come terra incognita . in altre parole c'è una regione di P interseca NP. sia P che NP sono abbastanza ben compresi ma non è noto se la regione P ⋂ NP-hard (P interseca NP-hard) sia vuota o meno.

• Aaronson ha recentemente dato la metafora di due tipi apparentemente diversi di specie di rane che non si mescolano mai per P / NP. si riferiva anche alla "recinzione elettrica invisibile" tra i due.

• la fisica delle particelle studia il modello standard. la fisica studia la composizione delle particelle proprio come la teoria della complessità studia la composizione delle classi di complessità. in fisica vi è una certa incertezza su come alcune particelle danno origine ad altre ("stabilire i confini") proprio come nella teoria della complessità.

• "lo zoo della complessità" , è come un sacco di animali esotici che hanno capacità diverse, alcune piccole / deboli e altre grandi / potenti.

• le classi di complessità sono come un continuo continuum tempo / spazio come si vede nei teoremi della gerarchia Tempo / Spazio con "punti di transizione" chiave (sorprendentemente abbastanza profondamente analoghi alle transizioni di fase della materia fisica) tra i vari stati.

• una macchina di Turing è una macchina con "parti mobili" e le macchine funzionano in modo equivalente alle misurazioni di energia e hanno misure di tempo / spazio . quindi le classi di complessità possono essere viste come "energia" associata alle trasformazioni input-output della scatola nera.

• ci sono molti possibili analoghi della storia della matematica, ad esempio il problema di quadrare il cerchio, trovare soluzioni algebriche all'equazione quintica, eccetera.

• I mondi di Impaggliazo

• Il nuovo libro di Fortnows contiene un'analogia scientifica molto popolare per il mining.

• Crittografia / decrittografia: Turing notoriamente ha lavorato su questo durante la seconda guerra mondiale e molti teoremi che dimostrano le differenze nelle classi di complessità potrebbero sembrare analoghi ai problemi di decrittazione. ciò è reso più solido con documenti come Natural Proofs in cui la separazione delle classi di complessità è direttamente correlata alla "rottura" di generatori di numeri pseudo casuali.

• Compressione / decompressione: diverse classi di complessità consentono / rappresentano diverse quantità di compressione dei dati. per esempio supponiamo che P / poly contenga NP. ciò significherebbe che esistono entità "più piccole" (vale a dire circuiti) che possono "codificare" problemi completi NP "più grandi", ovvero che le strutture (dati) più grandi possono essere "compresse" in modo efficiente in strutture (dati) più piccole.

• lungo l'analogia zoo / animale, c'è un forte aspetto di cieco ed elefante nella teoria della complessità. il campo è ancora apparentemente / forse nelle sue prime fasi di un arco molto lungo (questo non è implausibile o inaudito di altri campi matematici che hanno estensioni di secoli o addirittura millenni) e molta conoscenza può essere vista come parziale, disgiunta e frammentato.

quindi in breve la domanda pone "ottimismo associato a riduzioni". gli scienziati generalmente si astengono dalle emozioni o addirittura ne ridono a volte nella loro ricerca puramente logica. c'è un equilibrio tra pessimismo a lungo termine e cauto ottimismo sul campo e mentre c'è spazio per l'informalità, tutti i ricercatori seri dovrebbero sforzarsi di imparzialità nei loro atteggiamenti professionali come parte della descrizione del lavoro. comprensibilmente, ci si concentra su piccole vittorie e incrementalismo e non farsi "trascinare".