Potare un digrafo fortemente connesso

Dato un digrafo G fortemente connesso con spigoli ponderati, vorrei identificare i bordi che non fanno parte di alcun sottografo minimamente connesso (MSCS) di G.

Un metodo per trovare tali fronti è un algoritmo Floyd-Warshall modificato. Usando l'algoritmo Floyd-Warshall, si può identificare quali spigoli non sono mai l'opzione migliore per passare dal vertice i a j. Questi nodi non possono far parte di un MSCS perché è meglio sostituirli con due o più altri bordi.

La tecnica di potatura Floyd-Warshall funziona abbastanza bene quando i pesi dei bordi variano in modo significativo, ma molto male quando i pesi dei bordi sono simili ma di grande entità.

Conoscete metodi di potatura efficaci per pesi di bordi grandi e simili? Questo problema è equivalente a un problema più comune che non riconosco? Questo tipo di potatura è già stato studiato in letteratura?

Partiamo dal presupposto che i pesi dei bordi sono numeri interi positivi. Dato un grafo orientato G con pesi di bordo, chiamare un bordo e ridondante se e non appartiene a nessun minimo peso fortemente collegato attraversa sottografi di G .

Sosteniamo che, a meno che P = NP, non esista un algoritmo a tempo polinomiale che trova sempre un bordo ridondante in un dato grafico diretto con pesi di bordo purché ce ne sia uno. Più precisamente:

Teorema . Dato un grafico diretto G con pesi dei bordi, NP è difficile trovare un bordo ridondante in G o dichiarare che G non ha un bordo ridondante.

Prova . L'osservazione chiave è che se G ha un unico sottografo spanning fortemente connesso di peso minimo, è possibile calcolare quel sottografo rimuovendo i bordi ridondanti uno per uno. Pertanto, resta da dimostrare che l'unicità non rende più facile il problema del subgrafo spanning fortemente connesso di peso minimo, ma ciò è dimostrato dal Lemma successivo. QED .

Lemma . Dato un grafico diretto G con pesi di bordo, NP è difficile calcolare il peso del sottografo di spanning fortemente connesso di peso minimo di G anche con la promessa che G ha un unico sottografo di spanning fortemente connesso di peso minimo.

Prova . Come sapete , il problema senza la promessa è NP-difficile (anche per il caso del peso unitario) da una riduzione del problema del circuito Hamiltoniano. Riduciamo il problema senza la promessa del problema con la promessa.

Lascia che G sia un grafico diretto con pesi dei bordi. Etichettare i bordi G da e ₀ , e ₁ , ..., e _{m -1} , dove m è il numero di lati in G . Lasciate w _I essere il peso dato del bordo all'e _i . Lascia che il nuovo peso w ′ _i = 2 ^m w _i +2 ⁱ . Quindi è facile verificare che G con i nuovi pesi abbia un unico sottografo spanning fortemente connesso di peso minimo unico. È anche facile verificare che il peso minimoW di un sottografo di spanning fortemente connesso in G con i pesi originali può essere calcolato dal peso minimo W ′ in G con i nuovi pesi come W = ⌊ W ′ / 2 ^m ⌋. QED .