Possiamo ordinare senza permutazioni?

È noto che l'ordinamento delle permutazioni per trasposizione è in $\sf{P}$ , poiché il numero minimo di trasposizioni richieste per ordinare è esattamente . Questa nozione di "numero di inversione" ha anche applicazioni nella combinatoria algebrica, ad esempio consente di dotare di una struttura reticolare, chiamata permutoedro e basata sull'ordine debole di Bruhat. i n v ( π ) = { ( i , j ) ∈ [ n ] × [ n ] : i < j  e  π ( i ) > π ( j ) } S $\pi \in S_n$$inv(\pi) = \{ (i,j) \in [n] \times [n] : i < j \text{ and } \pi(i) > \pi(j) \}$$S_n$

Può essere illuminante riformulare il problema in termini di teoria dei gruppi. Ci viene dato un gruppo con gruppo elettrogeno e una mappatura , e un altro gruppo su cui agisce in modo transitorio, e vogliamo risolvere il seguente problema: dato , trova una lunghezza minima tale che . Nel caso della permutazione, e è l'insieme delle trasposizioni.Γ i G : Γ ∗ → G H G h ∈ H w ∈ Γ ∗ i G ( w ) . h = 1 H G = H = S n$G$$\Gamma$$i_G : \Gamma^* \rightarrow G$$H$$G$$h \in H$$w \in \Gamma^*$$i_G(w).h = 1_H$$G = H = S_n$$\Gamma$

Domanda: ci sono altri casi di questo problema che ammettono algoritmi efficienti?

Non ho una risposta definitiva alla tua domanda, ma "l'ordinamento della treccia" sembra un possibile candidato. Secondo questa voce di Wikipedia possiamo definirla come segue. Lasciate sia un gruppo, e sia H denota l'insieme di tuple ( x 1 , ... , x n ) ∈ X n tale che x 1 ... x n = 1 X . Se lasciamo che G sia il gruppo di trecce B n generato dalle mosse σ i , possiamo definire un'azione di B $X$$H$$(x_1,\ldots,x_n) \in X^n$$x_1 \ldots x_n = 1_X$$G$$B_n$$\sigma_i$$B_n$sopra di:$H$

$\sigma_i(x_1,\ldots,x_n) = (x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1} x_i x_{i+1},\ldots,x_n).$

Vale a dire, combina l'effetto di uno swap e una coniugazione nelle posizioni i e i + 1 . Potrebbe essere possibile risolvere questo problema in modo ottimale in tempi polinomiali, il che risponderebbe alla tua domanda.$\sigma_i$$i$$i+1$

Il seguente articolo di Mark Jerrum ha studiato il problema che hai menzionato quando e G = H = A n (il gruppo alternato):$G=H=S_n$$G=H=A_n$

• Mark Jerrum: la complessità di trovare sequenze di generatori di lunghezza minima. Theor. Comput. Sci. 36: 265-289 (1985) http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(85)90047-7 .

Tra gli altri risultati, ha dimostrato che quando e Γ è l'insieme delle "trasposizioni ciclicamente adiacenti", la lunghezza minima di tale w può essere trovata nel tempo polinomiale.$G=H=S_n$$\Gamma$$w$