Prova di indecidibilità non mediante riduzione del problema di arresto


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Il modo abituale di dimostrare l'indecidibilità è la riduzione da un problema RE-complete come il problema di arresto, la validità nella logica del primo ordine, la soddisfacibilità delle equazioni di Dihanthant, ecc.

È noto che ci sono problemi ricorsivamente enumerabili, ma indecidibili che non sono RE-completi, ma si tratta di costruzioni artificiali (ovvero insiemi che sono stati definiti solo per mostrare questo risultato di "densità").

Come affrontare una prova di indecidibilità senza riduzione da un problema di RE-complete? Diagonalizzazione?


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Forse la domanda giusta è: "quali sono i diversi metodi diretti per dimostrare l'indecidibilità"?
Suresh Venkat,

il teorema di incompletezza di Godel è visto in qualche modo come un "modo diverso" ... un'altra prova di diagonalizzazione si basa sul fatto che il numero di programmi / coppie di input è numerabile ma le lingue sono innumerevoli, e quindi in questo modo è simile all'incommensurabilità dei reali con gli interi. vedi anche questo Q / A re Lawvere teorema a virgola fissa
vzn


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@vzn: Penso che l'incompletezza di Godel sia essenzialmente la stessa prova ...
Joshua Grochow

Solo per curiosità, per quale tipo di problema o lingua stai cercando di dimostrare indecidibilità? Penso che ci siano molti problemi indecidibili noti (vedi ad esempio un piccolo elenco su Wikipedia) da cui puoi ridurre, quindi mi chiedo se almeno uno di essi è simile al tuo o se si tratta di un problema completamente nuovo.
Marzio De Biasi,

Risposte:


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Si può dimostrare abbastanza direttamente che la complessità di Kolmogorov non è calcolabile, vedi ad esempio Sipser, 3a edizione, problema 6.23.


Ciò dovrebbe anche seguire direttamente dal teorema di incompletezza di Chaitin , la cui dimostrazione è abbastanza simile.
Yonatan N,

Mi sembra dai precedenti problemi che Sipser intenda che gli studenti usino l'indecidibilità del problema di arresto per questa dimostrazione, quindi forse vale la pena delineare la prova diretta di incomputabilità nella risposta.
usul

Anche il confronto effettivo con gli esercizi 6.24 e 6.25 aiuta.
Bjørn Kjos-Hanssen

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Ho pensato che valesse la pena sottolineare - dato che l'OQ ha chiesto in particolare la diagonalizzazione - che la prova che K è incomputabile è essenzialmente anche la diagonalizzazione. (In effetti, è fondamentalmente la stessa diagonalizzazione della semplice vaniglia che viene utilizzata per dimostrare HALT incomprensibile, che è la stessa prova originale di Cantor sulle cardinalità, che è la stessa delle prove dell'incompletezza di Godel e Chaitin, che sono il tutto solo teorema- versioni del paradosso di Russell ...
Joshua Grochow,

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Considera quello che mi piace chiamare il problema della GUESSING COERENTE.

M

  • M

  • M

  • M

(Naturalmente questo non è proprio un linguaggio, ma più simile a un analogo della calcolabilità di un problema promettente.)

Ora, con una modifica della prova originale di Turing, è abbastanza facile dimostrare che la GUESSING COERENTE è indecidibile (lo lascerò come esercizio per te).

UNUN


Grazie, ma ... di nuovo, una prova di diagonalizzazione. ;-) Il mio problema è che ho qualcosa che ritengo indecidibile (in pratica, per oltre 35 anni, le persone hanno sempre cercato algoritmi euristici o algoritmi validi per le sottoclassi per risolverlo) ma per i quali sembra che non ci sia né "ovvio" riduzioni da parte di re o qualche bella discussione sulla diagonalizzazione ...
David Monniaux,

Si noti che non ci sono problemi "naturali" che sono noti per essere indecidibili, ma non hanno una (nota) riduzione di Turing al problema di arresto. In particolare, l'unico approccio "raccomandato" per dimostrare che qualcosa è indecidibile è quello di ridurlo a un altro problema indecidibile (ad esempio la semi-unificazione o il raggiungimento della matrice )
codice

cody: è quello che pensavo anche io. Ma se sei disposto a prendere in considerazione compiti più generali rispetto a decidere una lingua, allora INDIRIZZO COERENTE è un controesempio abbastanza naturale! (Per inciso, presumo tu intendessi, riducendo i problemi indecidibili noti al tuo problema, piuttosto che il contrario.)
Scott Aaronson

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Se quello che stai cercando è una prova che non è né una) riduzione da un noto problema completo, né b) una semplice diagonalizzazione (che i tuoi vari commenti indicano che sei), allora per quanto so che sei sfortunato. Tutte le prove di cui sono consapevole che non sono per riduzione - comprese quelle nelle altre eccellenti risposte fornite qui da Aaronson e Kjos-Hanssen - procedono con una semplice diagonalizzazione.

E tutte queste diagonali sono essenzialmente la stessa prova . Alcune sono lievi varianti della dimostrazione che producono dichiarazioni leggermente più forti / più deboli, ma le prove stesse sono in genere solo variazioni molto lievi. (E tutte queste prove sono essenzialmente le stesse della prova originale di Cantor sulle cardinalità, che è la stessa delle prove dell'incompletezza di Godel e Chaitin, che sono solo le teoremi-versioni del paradosso di Russell ... Tanto che punto mi chiedevo se si potesse formalizzare in qualche modo un tipo di matematica inversa un teorema che diceva che in sostanza esisteva solo una di queste prove.)

Potrebbe valere la pena sottolineare, tuttavia, che esistono prove di altre affermazioni - in genere di sapore diverso - che sono diagonalizzazioni che sono realmente, veramente, dimostrabilmente diverse dalla diagonalizzazione utilizzata per dimostrare, ad esempio, l'indecidibilità del problema di arresto.


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Non conosco molto questo argomento, ma il teorema del punto fisso di Lawvere non è una generalizzazione comune di quasi tutti questi?
Sasho Nikolov,
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