La congettura di Kolmogorov secondo cui

Nel suo libro, Boolean Function Complexity, Stasys Jukna menziona (pagina 564) che Kolmogorov credeva che ogni lingua in P avesse circuiti di dimensioni lineari. Nessun riferimento è menzionato e non sono riuscito a trovare nulla online. Qualcuno ne sa di più?

— amido
fonte

Paging @Stasys :)

— Suresh Venkat

fare riferimento anche a questo qui rjlipton.wordpress.com/2009/02/12/is-np-too-big-or-p-too-small

— T ....

Questa "congettura" di Kolmogorov è solo una voce. Ovviamente non è stato pubblicato da nessuna parte o così. Nell'ex Unione Sovietica, "pubblicare" la matematica significava qualcosa di diverso: fare un discorso in un seminario o dire ai tuoi colleghi a pranzo, oppure. Il conteggio dei documenti non è stato un problema. Quindi, non posso escludere che questa "congettura" sia stata appena raccontata a Levin da Kolmogorov durante la loro passeggiata per un seminario presso la MGU (Università di Mosca). (In realtà, ho anche imposto questo modo di fare matematica.) Quindi, non prenderlo troppo sul serio - proprio come una "voce", che (inutile dirlo) non è stata confutata nel corso degli anni ...

— Stasys

@vzn

P \subseteq s i z e (n^{k}) \Rightarrow P \neq N P

$\mathsf{P} \subseteq \mathsf{size}(n^k) \Rightarrow \mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ per qualsiasi

fisso

k

$k$ perché

\forall k \in N : Σ_{4}^{P} ⊈ s i z e (n^{k})

$\forall k \in \mathbb{N}: \Sigma_4^{\mathsf{P}} \not \subseteq \mathsf{size}(n^k)$ . Quest'ultimo è rafforzato a

Σ_{2}^{P}

$\Sigma_2^{\mathsf{P}}$ dal teorema di Kannan.

— Sasho Nikolov,

@Stasys, dovresti pubblicarlo come una risposta in modo che la domanda riceva risposta (quindi il sito non continuerà a caricarlo fino alla prima pagina).

— Kaveh,

Risposte:

[Seguendo un suggerimento di Kaveh, sto inserendo il mio commento (piuttosto esteso) come risposta]

Questa "congettura" di Kolmogorov è solo una voce. Non è stato pubblicato da nessuna parte. Nell'ex Unione Sovietica, "pubblicare" la matematica significava qualcosa di diverso da quello che fa oggi: tenere un discorso durante un seminario o dire ai propri colleghi a pranzo. Il conteggio dei documenti non è stato un problema. (In realtà, ho anche imposto questo modo di fare matematica.) Non posso escludere la possibilità che questa "congettura" sia stata appena raccontata a Levin da Kolmogorov durante la loro camminata per un seminario all'Università di Mosca. Quindi non prenderlo troppo sul serio come una congettura formale; è solo una voce che (inutile dirlo) non è stata smentita nel corso degli anni. Ma poiché un gigante come Kolmogorov ha seriamente pensato a questo problema e non ha escluso la possibilità di un "potere del diavolo", la congettura dovrebbe essere trattata abbastanza seriamente,

Ecco una (molto, molto approssimativa) speculazione sulla mia comprensione di questa congettura. La nostra intuizione (apparentemente sbagliata) su come funzionano i circuiti si basa sulla visualizzazione del calcolo da parte di un programma come un processo sequenziale che raccoglie gradualmente informazioni sulla stringa di input. Questa intuizione è presa in prestito dalla nostra visione di come funziona una macchina di Turing. Ma ogni stringa di input determina un sottocircuito (testimone o ). E affinché un circuito sia corretto, è sufficiente che le serie di subcircuiti per e $x$ $f(x)=1$ $f(x)=0$ $f^{-1}(1)$ sono disgiunti. Cioè, un circuito è una "codifica locale" compatta di una data partizione -cube. La lunghezza di questo codice è la complessità di Kolmogorov della stringa binaria data di lunghezza . Unalgoritmotemporale polinomiale, tuttavia, fa di più: fornisceuna"codifica globale" dell'intera stringa infinita per tutto . Ora, una stringa infinita consente una codifica di dimensione $f^{-1}(0)$ $n$ $f_n$ $2^n$ $f$ $n$ $f$ $n^c$ deve essere "semplice" e i suoi prefissi "dovrebbero" consentire codifiche "locali" ancora più compatte. Naturalmente, rimane un mistero il motivo per cui Kolmogorov pensava che codifiche "locali" anche di dimensioni per qualche potrebbero essere sufficienti ... $cn$ $c$

PS Siamo spiacenti, ho dimenticato di aggiungere: un'eccellente conferma della mia "tesi" secondo cui i circuiti dovrebbero essere visti come codici (statici) piuttosto che algoritmi (dinamici) è il famoso teorema di David Barrington secondo cui l'intera classe può essere simulata dal polinomio -size programmi di ramificazione di larghezza 5. La vista "raccolta di informazioni" qui è totalmente errata: non è nemmeno chiaro come calcolare la funzione maggioritaria mantenendo solo 5 bit di informazioni. Un'idea intelligente di David era proprio quella di codificare $NC^1$ il comportamento di una determinata formula mediante sequenze particolari di 5 permutazioni e per mostrare che le stringhe accettate e rifiutate otterranno codici diversi. Il punto è che anche un programma di diramazione non "calcola" --- piuttosto codifica le stringhe di input dai suoi sottoprogrammi: quando arriva un input, i bordi incoerenti scompaiono e abbiamo un codice di questo input.

— Stasys
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Ci sono esempi non banali di lingue che supportano questa congettura?

— Igor Shinkar,

@Igor: non lo so. Alcune indicazioni (deboli) sono menzionate qui . In realtà, tendo alla risposta di GMB: molto probabilmente, la congettura è stata stimolata dalla loro soluzione del 13 ° problema di Hilbert, non da considerazioni combinatorie.

— Stasys,

Non sono per nulla al corrente di questo argomento quanto Stasys, ma ho sentito una giustificazione diversa per questa congettura che potrei anche condividere.

Ho sentito che la congettura si basava sulla soluzione positiva al Tredicesimo problema di Hilbert, che fu risolto congiuntamente da Komolgorov e dal suo studente Arnold. Il teorema (che è molto più generale del problema dichiarato di Hilbert) dice:

$+$

$\exists k \, \, \, P \subset SIZE(n^k)$

Mi dispiace non sono qualificato per essere più preciso di così - se qualcun altro ha sentito questa idea, forse potrebbero aiutarmi.

— GMB
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puoi dare un riferimento per quel thz plz

— vzn

@GMB: ben osservato - questa potrebbe essere una spiegazione ancora più ravvicinata del motivo per sollevare quella congettura.

— Stasys,