C'è stata qualche ricerca su

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Una caratteristica ben nota delle istanze -SAT è il rapporto tra il numero di clausole il numero di variabili , ovvero il quoziente . Per ogni , esiste un valore di soglia st \ per , la maggior parte dei casi è soddisfacente e per maggior parte dei casi non è soddisfacente. Sono state fatte molte ricerche per problemi in cui e per problemi con , sufficientemente piccoli $k$ $m$ $n$ $\rho = m/n$ $k$ $\alpha$ $\rho \ll \alpha$ $\rho \gg \alpha$ $\rho \ll \alpha$ $\rho$ $k$ -SAT diventa risolvibile in tempo polinomiale. Vedi, ad esempio, l'articolo del sondaggio di Dimitris Achlioptas tratto dal Manuale di soddisfazione ( PDF ).

Mi chiedo se sia stato fatto qualche lavoro nell'altra direzione (dove ), ad esempio, se in qualche caso possiamo trasformare il problema da CNF a DNF per risolverlo rapidamente. $\rho \gg \alpha$

Quindi, in sostanza, cosa si sa riguardo a SAT dove ? $\rho = m/n \gg \alpha$

— Matt Groff
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Vale la pena notare che

è una funzione di

.

α

$\alpha$

k

$k$

— Huck Bennett,

potrebbe esserci qualche trasformazione che mostra una sorta di simmetria tra le due regioni su entrambi i "lati" del punto di transizione? sembra plausibile. comunque la domanda è piuttosto ampia nel senso che c'è molto studio empirico / teorico del punto di transizione che non si concentra così tanto su un "lato" o sull'altro ...

— vzn

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Sì, c'è stato. Moshe Vardi ha recentemente tenuto un discorso di indagine presso il seminario BIRS Theoretical Foundations of Applied SAT Solving :

Moshe Vardi, Transizioni di fase e complessità computazionale , 2014.

(Moshe presenta il grafico del loro esperimento poco dopo il minuto 14:30 nel suo discorso sopra riportato).

Lascia che denoti il rapporto della clausola. Man mano che il valore di aumenta oltre la soglia, il problema diventa più facile per i solutori di SAT esistenti, ma non è facile come prima di raggiungere la soglia. C'è un forte aumento della difficoltà mentre ci avviciniamo alla soglia dal basso. Dopo la soglia il problema diventa più facile rispetto alla soglia ma la diminuzione della difficoltà è molto meno ripida. $\rho$ $\rho$

Sia denotare la difficoltà del problema scritto su (nel loro esperimento è il tempo di esecuzione mediano di GRASP su istanze 3SAT casuali con il rapporto della clausola ). Moshe suggerisce che cambia come segue: $T_\rho(n)$ $n$ $T_\rho(n)$ $\rho$ $T_\rho(n)$

la soglia: è polinomiale in , $\rho \ll$ $T_\rho(n)$ $n$
è vicino alla soglia: è esponenziale in , $\rho$ $T_\rho(n)$ $n$
la soglia: rimane esponenziale in ma l'esponente diminuisceall'aumentare di . $\rho \gg$ $T_\rho(n)$ $n$ $\rho$

— Kaveh
fonte

1

Va notato che i risultati di cui sopra sono risultati sperimentali (a partire da circa 2000) utilizzando uno specifico solutore SAT (GRASP). Ma, in teoria, è noto che per una risoluzione

,

) abbastanza grande ha anche piccole confutazioni di insoddisfazione. E, come ha scritto Jan Johannsem prima, confutare 3-SAT è facile (nel caso medio) già quando

ρ

$\rho$

Ω (n)

$\Omega(n)$

.

ρ = Ω (\sqrt{n})

$\rho=\Omega(\sqrt{n})$

— Iddo Tzameret,

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Esistono almeno due linee di ricerca riguardanti casuali per formule con una clausola / rapporto variabile superiore alla soglia di soddisfacibilità: $k\text-\mathsf{SAT}$

Per tali formule sono stati mostrati limiti inferiori sulla lunghezza delle confutazioni nella risoluzione e sistemi di prova proposizionale più forti, a partire dal documento " Molti esempi concreti di risoluzione " di Chvátal e Szemerédi. Questi limiti inferiori della risoluzione implicano limiti inferiori sul tempo di esecuzione dei solutori SAT basati su DPLL e CDCL. I limiti inferiori più forti sono per il calcolo polinomiale, dovuto a Ben-Sasson e Impagliazzo .
Per tali formule esistono algoritmi deterministici efficienti per certificare l'insoddisfazione, ovvero algoritmi che producono "UNSAT" o "Non so", dove la risposta "UNSAT" deve essere corretta e deve produrre "UNSAT" su formule insoddisfacenti con alta probabilità. I risultati più forti in quella direzione sono dovuti a Feige e Ofek .

— Jan Johannsen
fonte

Vale forse la pena notare che Chvátal / Szemerédi mostrano che una formula casuale

-SAT con

non è soddisfacente. Feige e Ofek invia un algoritmo spettrale quando

. Quindi rimane un

k

$k$

m / n \geq c_{1}

$m/n \ge c_1$

m / n \geq c_{2} n^{1 / 2}

$m/n \ge c_2n^{1/2}$

divario tra

e

dove quasi ogni formula è insoddisfacibile, ma non sappiamo come decidere che sia così.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

c_{1} n

$c_1n$

c_{2} n^{3 / 2}

$c_2n^{3/2}$

— András Salamon,

2

ecco uno studio / angolo più vecchio ma pertinente di un esperto di spicco.

Il limite del coltello vincolo Walsh 1998

$\kappa$

$\kappa$ $\kappa$

$m/n \gg\alpha$

— VZN
fonte

d'altra parte è presumibilmente possibile generare singole istanze "dure" di qualsiasi "dimensione" m / n, è solo che sono meno statisticamente probabili al di fuori della transizione di fase "P-NP-P".

— vzn