Ottenere in modo efficiente pezzi di N! ?

Dati e M , è possibile ottenere l' M bit (o cifra di qualsiasi piccola base) di N ! nel tempo / spazio di O ( p ( l n ( N ) , l n ( M ) ) ) , dove p ( x , y ) è una funzione polinomiale in x ed y ?$N$$M$$M$$N!$$O( p( ln(N), ln(M) ) )$$p(x, y)$$x$$y$

cioè Dato , M = 2 μ (con N , M ∈ Z ), trova il bit 2 μ di ( 2 η ) ! in O ( p ( η , μ ) ) .$N = 2^\eta$$M = 2^\mu$$N$$M \in \mathbb{Z}$$2^\mu$$(2^\eta)!$$O( p(\eta, \mu) )$

Nota: l'ho chiesto su mathoverflow.net qui e non ho ricevuto alcuna risposta, quindi ho effettuato il cross-post.

Dal commento sull'altro sito, Gene Kopp sottolinea che è possibile calcolare in modo efficiente i bit di ordine inferiore eseguendo l'aritmetica modulare e i bit di ordine superiore utilizzando l'approssimazione di Stirling, quindi questa domanda è davvero "quanto si può calcolare in modo efficiente i bit di ordine medio?" .

Dick Lipton ha un bellissimo post del 2009 sul rapporto tra funzione fattoriale e factoring. Ci sono molte cose estranee a questa domanda, ma un punto saliente è questo teorema:

Se può essere calcolato mediante un calcolo aritmetico in linea retta in passi O ( log c n ) , quindi il factoring ha circuiti di dimensioni polinomiali.$n!$$O(\log^{c} n)$

Ho il sospetto che questa sia la prova che la tua domanda, specialmente entro i limiti di tempo che menzioni, sarà difficile rispondere.

$p$

$p$$(p^2)$$p^2$$p$$N!$$X_p = \sum_{i=1}^{\lfloor \log_p(N!) \rfloor} \lfloor \frac{N}{p^i}\rfloor$$\log_p(N!)$$\ln N! \approx N \ln N - N$$p^{N \lceil \log_p (N) \rceil} > N!$$1 \leq i \leq {N \lceil \log_p (N) \rceil}$$\lfloor \frac{N}{p^i}\rfloor = 0$$i > {\lfloor \log_p(N!) \rfloor}$

$X_p$$N!$$p$