Distanze disponibili tra la complessità dell'albero decisionale e la complessità "vera"

Il titolo è un po 'fuorviante: ma speriamo che la domanda non sia:

Grønlund e Pettie del nuovo risultato mostra che 3sum ha solo albero decisionale complessità mi ha fatto chiedendo: $O(n^{3/2})$

C'è un semplice esempio di un problema con una complessità dell'albero decisionale di ma che ammette un limite inferiore (in un modello più dettagliato) di ? $O(f)$ $\omega(f)$

In altre parole, come dovrebbe il risultato su 3SUM cambiare la nostra visione della possibilità di ottenere un valore significativamente inferiore a limite sulla complessità del problema? $n^2$

cc.complexity-theory machine-models decision-trees

— Suresh Venkat
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La distinzione degli elementi può essere risolta con un albero decisionale binario a profondità costante. ("Tutti gli elementi sono distinti?") Ma abbiamo bisogno della profondità

per risolvere il problema usando gli alberi delle decisioni lineari .

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

— Jeffε

Il modello dell'albero decisionale è un modello teorico dell'informazione: dopo aver appreso abbastanza informazioni sul proprio input che la risposta è determinata in modo univoco da queste informazioni, si è fatto. Non importa se determinare la risposta da queste informazioni è indecidibile. Quindi, ad esempio, se l'input è una stringa binaria n-bit che codifica una macchina di Turing e la domanda è se questa TM si ferma, un albero decisionale di profondità n può banalmente risolvere questo problema poiché conosce tutti i n bit, ma nessun algoritmo può risolvere questo problema.

— Robin Kothari,

Forse avrei dovuto dire 'esempio di un problema semplice' invece :).

— Suresh Venkat,

Risposte:

Meyer auf der Heide ha descritto una famiglia non uniforme di alberi decisionali lineari per Somma del sottoinsieme con profondità . Un risultato simile può essere ottenuto da un algoritmo successivo di Meiser per la posizione dei punti nelle disposizioni dell'iperpiano. Ovviamente il problema è NP-difficile. $O(n^4\log n)$

— Jeffε
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Se volessi essere VERAMENTE PEDANTICO, vorrei sottolineare che essere NP-hard non è un limite inferiore fisso. ma questo è un buon esempio dello spirito di ciò che sto cercando.

— Suresh Venkat,

Sì, ma non sappiamo come dimostrare limiti inferiori fermi.

— Jeffε

@ Jɛ ﬀ E Forse conosci una bella scrittura o esposizione di questo risultato? Trovo che l'originale sia molto difficile da seguire, alcune definizioni non sono affatto chiare per me.

— domotorp,

Almeno le definizioni di base sono descritte nel mio articolo sui problemi di degenerazione lineare .

— Jeffε

$O(n\log(\frac{m+n}{n}))$ $\Theta(n+m)$ $m=\omega(n)$

— Seth Pettie
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Vorrei essere in disaccordo un po '. Nel modello RAM, non abbiamo necessariamente bisogno di leggere l'intero input. Nel modello di macchina Turing, ci sono molti problemi banali che possono essere risolti più velocemente con un albero decisionale (o su una macchina RAM). Vedi anche il commento di Robin alla domanda originale.

— domotorp,