Considera il seguente gioco di carte (noto in Italia come "Cavacamicia", che può essere tradotto come "stripshirt"):

Due giocatori hanno diviso casualmente in due mazzi un mazzo di carte standard. Ogni giocatore riceve un mazzo.

I giocatori si alternano posizionando in una pila la carta successiva dal loro mazzo.

Se un giocatore (A) mette giù una carta speciale, cioè una I, II o III, l'altro giocatore (B) deve mettere consecutivamente il numero corrispondente di carte.

• Se nel fare ciò B mette giù una carta speciale, l'azione si inverte e così via; altrimenti, se B posiziona il numero corrispondente di carte ma nessuna carta speciale, A raccoglie tutte le carte che sono state messe e le aggiunge al loro mazzo. A quindi riavvia il gioco mettendo una carta.

Il primo giocatore a corto di carte perde la partita.

Nota: il risultato del gioco dipende esclusivamente dalla partizione iniziale del mazzo. (Il che può rendere questo gioco un po 'inutile ;-)

Domanda: questo gioco termina sempre? E se generalizzassimo questo gioco e dessimo due sequenze di carte a ciascun giocatore?

Per quanto riguarda Beggar-My-Neighbor

Paulhus (1, p.164) ha scritto nel 1999:

$C$${D_{2}}^{'}(C)$

Ma Conway et al. (2, p. 892) ha scritto nel 2006:

Strip-Jack-Naked o Beggar-My-Neighbor ** 1

Un altro problema che ha impiegato quasi 47 anni per risolvere riguarda questo gioco per bambini anziani. Ognuno dei due giocatori inizia con circa la metà delle carte (tenute coperte), che alternativamente si trasformano in una "pila" scoperta sul tavolo, fino a quando uno di loro (che ora è "il comandante") distribuisce per primo una delle "carte comandanti" (Jack, Regina, Re o Asso).

Dopo che uno di questi è stato distribuito, l'altro giocatore (ora "il rispondente") gira continuamente le carte fino a OGNI. ** 2 appare una nuova carta comandante (quando i giocatori cambiano ruolo ** 3) o rispettivamente 1, 2, 3 o 4 carte non comandanti sono state girate. In quest'ultimo caso, il comandante gira la pila e la congiunge alla fine della sua mano. Il rispondente inizia quindi la formazione di un nuovo stack girando la sua carta successiva e il gioco continua come prima.

Un giocatore che acquisisce tutte le carte è il vincitore e nei giochi reali, sembra che qualcuno vince sempre. L'interessante domanda matematica, posta da uno di noi molti anni fa, era "è davvero vero che il gioco finisce sempre?" Marc Paulhus ha recentemente trovato la risposta "no!". Circa 1 su 150.000 partite (giocate con le solite 52 carte) vanno avanti per sempre.

Siamo abbastanza fiduciosi che nessuna persona abbia mai giocato al gioco in quel modo un numero simile di volte, quindi la possibilità (con mescolamento casuale) di sperimentare un gioco senza interruzioni nel gioco di una vita deve essere davvero molto piccola.

Altrettanto sicuramente, tuttavia, il numero totale di volte in cui questo gioco è stato giocato dai bambini del mondo ** 4 deve essere significativamente maggiore di 150.000, quindi molti di loro saranno teoricamente non terminanti. Immaginiamo, tuttavia, che in pratica la maggior parte di loro sia effettivamente terminata perché qualcuno ha fatto un errore.

Sfortunatamente non sono stato in grado di trovare in (2) alcun riferimento alla scoperta di Paulhus ... Mi piacerebbe vedere una sequenza di carte che dà un gioco senza interruzioni per dire che il problema è stato risolto.

Nel 2013, Lakshtanov e Aleksenko (3) hanno scritto:

Per i giochi di carte del tipo Beggar-My-Neighbor, dimostriamo la finezza delle aspettative matematiche della durata del gioco nelle condizioni in cui un giocatore per giocare la prima carta viene scelto casualmente e le carte in un mazzo vengono mescolate prima di essere piazzate nel deck. Il risultato è valido anche per le modifiche di tipo generale delle regole del gioco. In altre parole, mostriamo che il grafico della catena Markov per il gioco Beggar-My-Neighbor sta assorbendo; cioè, da qualsiasi vertice c'è almeno un percorso che porta alla fine del gioco.

ma le loro regole non sono quelle che ho seguito quando giocavo da bambino ;-)

Per quanto ne so, il gioco Beggar-my-Neighbor più lungo è stato trovato nel 2014 da William Rucklidge con 7960 carte :

1: -J------Q------AAA-----QQ-
2: K----JA-----------KQ-K-JJK

Per quanto riguarda Cavacamicia

Di solito l'ho giocato con un mazzo da 40 carte, le simulazioni con un mezzo mazzo (solo 20 carte) danno 16 partite senza terminazione su un totale di 3.448.400 partite.

Bibliografia

(1) PAULHUS, Marc M. Beggar mio vicino. American Mathematical Monthly , 1999, 162-165. http://www.jstor.org/stable/2589054

(2) BERLEKAMP, Elwyn R .; CONWAY, John H .; GUY, Richard K. Modi vincenti per i tuoi giochi matematici, Volume 4. AMC, 2003, 10: 12. http://www.maa.org/publications/maa-reviews/winning-ways-for-your-mathematical-plays -Volume-4

(3) LAKSHTANOV, Evgenii Leonidovich; ALEKSENKO, Alena Il'inichna. Finezza nel gioco di carte Beggar-My-Neighbor. Problemi di trasmissione delle informazioni , 2013, 49.2: 163-166. http://dx.doi.org/10.1134/S0032946013020051