Fa implicano la connettività forte?

Indica con il grado minimo in , e con il grado minimo in. $\delta^+(G)$ $G$ $\delta^-(G)$

In una domanda correlata , ho citato l'estensione Ghouila-Houri del teorema di Dirac sui cicli hamiltoniani , che suggerisce che if allora G è hamiltoniano. $\delta^+(G),\delta^-(G) \geq \frac{n}{2}$

Nel suo commento, Saeed ha commentato una diversa estensione che sembra più forte, tranne per il fatto che il grafico deve essere fortemente collegato.

La forte connettività si è dimostrata ridondante per il teorema di Ghouila-Houri circa 30 anni dopo la sua prima pubblicazione, e mi chiedevo se lo stesso valesse per l'estensione presentata da Saeed.

Quindi la domanda è:

Chi ha dimostrato (qualcuno può trovare il riferimento) che implica che è hamiltoniano, dato che è fortemente connesso? $\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$ $G$ $G$

Anche in questo caso la connettività forte è ridondante, ovvero implica una connettività forte? $\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$

(Si noti che mentre il grafico ovviamente deve essere fortemente collegato per essere hamiltoniano, sto chiedendo se questa condizione sia implicita nelle condizioni di laurea).

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— RB
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Risposte:

La variazione che ho suggerito era in realtà una variazione leggermente diversa del teorema di Woodal . Forse l'ho visto nel libro di Bang-Jensen e Gutin . Al momento in cui ho scritto un commento, non ho verificato la correttezza del libro. Quindi per essere sicuro di aver scritto il grafico dovrebbe essere fortemente connesso. A proposito, questa affermazione è valida perché può essere interpretata come un caso speciale del teorema di Woodal. Inoltre, non è richiesto un forte requisito di connettività.

Questo è il teorema 6.4.6 del libro di Bang-Jensen e Gutin :

Sia un digrafo dell'ordine . Se per tutte le coppie di vertici e tale che non vi sia arco da a , allora è hamiltoniano. $D$ $n\ge 2$ $\delta^+(x)+\delta^-(y) \ge n$ $x$ $y$ $x$ $y$ $D$

Ciò significa che anche la risposta alla seconda parte della tua domanda è Sì.

Vi era un dubbio sul fatto che sia un limite stretto o meno. Qui provo a rispondere. Non possiamo ridurre il requisito di almeno da a , si consideri il seguente grafico. stanno creando un triangolo bidirezionale ed stanno facendo un bidirezionale . Se il ciclo hamiltoniano inizia da , non può andare a nella mossa successiva perché l'unico modo per è usare ma, è l'unico modo per tornare a . D'altra parte il ciclo hamiltoniano dopo non può andare a $n$ $n$ $k<n$ $a,b,c$ $e,d$ $k_2$ $e$ $d$ $d$ $b$ $b$ $e$ $e$ $c$ , perché quindi l'unico modo per tornare indietro a sta andando direttamente a per usare nelle mosse successive, ma siamo di nuovo nella posizione precedente. Anche dall'immagine è chiaro che ogni vertice ha un grado di entrata e uscita di almeno . Quindi la somma di ogni due in-out arbitrari è almeno . Possiamo estendere questo tipo di grafici a arbitrari . $e,d$ $d$ $b$ $2$ $4=5-1 = n-1$ $n$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

P.S1: Sicuramente il teorema sopra menzionato vale per semplici digrafi. cioè digrafi senza spigolo o bordi paralleli.

P.S2: Non ho un buon strumento Tex in questo momento. Quindi l'immagine non è buona.

— Saeed
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Quando ci sono solo due autori, è meglio riferirsi a loro come "Primo e Secondo", piuttosto che "Primo et al.", Quindi ricevono il merito che meritano. Et al. ("e altri") dovrebbe essere utilizzato solo quando l'elenco completo degli autori è abbastanza lungo da renderlo imbarazzante riprodurlo.

— David Richerby,

La risposta alla tua seconda domanda è affermativa:

Se allora è fortemente connesso $\delta^+(G)+\delta^-(G) \ge n$ $G$

Prova: lascia che sia un grafico che non è fortemente connesso. Dimostreremo che . Scrivi la decomposizione di in componenti fortemente collegati. Sia un componente fortemente connesso che è un sink (cioè nessun bordo va oltre ) e un sorgente (cioè nessun bordo va in ). Poiché nessun bordo va da all'esterno di , quindi . Allo stesso modo otteniamo , e unendo insieme queste due cose otteniamoQED. $G$ $\delta^+(G)+\delta^-(G) < n$ $G$ $S$ $S$ $T$ $T$ $S$ $S$ $\delta^+(G) \le \delta^+(S) \le |S|-1$ $\delta^-(G) \le |T|-1$

δ^{+} (G) + δ^{-} (G) \leq | S | + | T | - 2 \leq n - 2 .

$\delta^+(G)+\delta^-(G) \le |S|+|T|-2 \le n-2 \ .$

— gnocco di mobius
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Da ciò sembra che sia sufficiente.

\geq n - 1

$\ge n-1$

— Geoffrey Irving,

@GeoffreyIrving Sì, sembra di sì.

— gnocco di mobius il

Questo mi fa domandare se n-1 sia sufficiente per Hamiltonicity.

— RB

@RB, No non è abbastanza.

— Saeed,

@RB, ma mi chiedo qual è il numero minimo di spigoli per un digrafo non hamiltoniano D if .

δ^{-} + δ^{+} = n - 1

$\delta^-+\delta^+ = n-1$

— Saeed,

Questa è un'estensione della risposta di @Mobius per mostrare un'affermazione più forte:

Se , quindi . $\delta^+ + \delta^- \geq n-1$ $\forall u,v\in V, d(u,v)\leq 2$

Prova:

Se abbiamo finito. $(u,v)\in E$

Indica . $A=\{x\in V: (u,x)\in E\}, B=\{y\in V: (y,v)\in E\}$

Si noti che poiché , , quindi . $(u,v)\not \in E$ $A \cup B \subseteq V\setminus \{u,v\}$ $|A\cup B|\leq n-2$

Ma poi

n - 1 \leq δ^{+} + δ^{-} \leq | A | + | B | = | A \cup B | + | A \cap B | \leq n - 2 + | A \cap B |

$n-1 \leq \delta^+ + \delta^- \leq |A|+|B| = |A\cup B| + |A\cap B| \leq n-2 + |A\cap B|$

E quindi , ovvero e . $|A\cap B| \geq 1$ $\exists w\in V:(u,w),(w,v)\in E$ $d(u,v)=2$

$\blacksquare$ .

— RB
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