Impostare Copertina con dimensione dell'intersezione limitata

Quindi, il problema della copertura dei set è banale se nessuno dei set candidati si interseca.

Tuttavia, se la dimensione dell'intersezione per qualsiasi coppia di set candidati fosse al massimo 1? Questo problema è NP-difficile?

Gradirei qualsiasi intuizione.

Grazie Garrett

Se non mi manca qualcosa, puoi utilizzare una riduzione del SINGOLO COPERCHIO ESATTO RISERVATO DI SINGOLO DI 3 SET (SINGOLO SOVRAPPOSIZIONE RX3C) che ho dimostrato di essere NPC in questa domanda cstheory .

COPERTURA ESATTA DA TRE SET (X3C):

Istanza : Set e una collezione di sottoinsiemi di 3 elementi di . Domanda : C contiene una copertura esatta per , ovvero una sottocollection tale che ogni elemento di presenta esattamente in un membro di ?$X=\{x_1,x_2,...,x_{3q}\}$$C=\{C_1,...,C_m\}$$X$
$X$$C′\subseteq C$$X$$C′$

X3C è NP-completo (vedere G&J) e, come mostrato in [1], rimane NP-completo anche se ogni elemento è contenuto in esattamente 3 sottoinsiemi di (COPERCHIO ESATTO RISERVATO DI TRE SET, RX3C).$x_i$$C$

Ho dimostrato che rimane NP-completo anche se ogni coppia di sottoinsiemi in condivide al massimo un elemento; vale a dire per tutti , (ho chiamato questa versione limitata SINGLE OVERLAP RX3C).$C$$i\neq j$$|C_i \cap C_j|\leq 1$

Il SET COPERCHIO CON TAGLIA DI INTERSEZIONE LIMITATA 1 (la sua versione di decisione) è semplicemente una generalizzazione di SINGOLO SOVRAPPOSIZIONE RX3C, infatti puoi scegliere lo stesso universo e la stessa raccolta di sottoinsiemi del SINGOLO SOVRAPPOSIZIONE RX3C e chiedere una copertina con sottoinsiemi o meno.$X$$C_1,...C_m$$q$

Ovviamente un coperchio con sottoinsiemi non può esistere perché ogni sottoinsieme contiene tre elementi e ci sono elementi in . Una copertura con sottoinsiemi deve essere esatta: se due sottoinsiemi contengono un elemento condiviso, ci sono meno di elementi coperti.$< q$$3q$$X$$q$$3q$

[1] Teofilo F. Gonzalez: clustering per ridurre al minimo la distanza massima dell'intercluster. Theor. Comput. Sci. 38: 293-306 (1985).