Un'altra variante di PARTITION

Ho una riduzione del seguente problema di partizione a un certo problema di pianificazione:

Input: un elenco di numeri interi positivi in ordine non decrescente. $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_n$

Domanda: esiste un vettore tale che $(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n$

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} = 0 and

$\sum_{i=1}^na_ix_i=0\qquad\text{and}$

Σ_{io = 1}^{K} {un'}_{io} X_{io} ⩾ 0 per tutti K \in {1, ..., n}

$\sum_{i=1}^ka_ix_i\geqslant 0\quad\text{for all }k\in\{1,\ldots,n\}$

Senza la seconda condizione è solo PARTITION, quindi NP-hard. Ma la seconda condizione sembra fornire molte informazioni aggiuntive. Mi chiedo se esiste un modo efficace per decidere questa variante. O è ancora difficile?

— Thomas Kalinowski
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Ecco una riduzione da PARTITION a questo problema. Sia un'istanza di PARTITION. Supponiamo che . $(a_1,\dots, a_n)$ $a_1\leq a_2\leq \dots \leq a_n$

Sia un "numero molto grande", ad esempio . Prendi in considerazione l'istanza del nostro problema. $N$ $N = (\sum_{i=1}^n |a_i|) + 1$

\underset{5 n volte}{\underset{⏟}{N, ..., N}}, N + {un'}_{1}, ..., N + {un'}_{n}, \underset{n volte}{\underset{⏟}{4 N, ..., 4 N}}

$\underbrace{N, \dots, N}_{5n \text{ times}}, N + a_1, \dots, N+a_n,\underbrace{4N, \dots, 4N}_{n \text{ times}}$

Se esiste una soluzione a PARTITION, allora è una soluzione al nostro problema. $x_1,\dots, x_n$
$\underset{4 n volte}{\underset{⏟}{1, ..., 1}}, - X_{1}, ..., - X_{n}, X_{1}, ..., X_{n}, \underset{n volte}{\underset{⏟}{- 1, ..., - 1}}$ $\underbrace{1, \dots, 1}_{4n \text{ times}},-x_1,\dots,-x_n,x_1,\dots,x_n,\underbrace{-1,\dots,-1}_{n \text{ times}}$
Se esiste una soluzione all'istanza del nostro problema (a cui abbiamo ridotto un'istanza di PARTITION), quindi . Pertanto Cioè, è una soluzione a PARTITION. $(x_1,\dots,x_{5n},y_1,\dots, y_n, z_1,\dots,z_n)$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i \equiv 0 \pmod N$
$Σ_{io = 1}^{n} {un'}_{io} y_{io} = 0.$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i = 0.$ $(y_1,\dots, y_n)$

— Yury
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Grazie Yury. Nella mia applicazione è essenziale che l'elenco di input sia ordinato in modo non decrescente, e che l'input non lo sia. Modificherò la domanda per rendere più esplicito il requisito dell'ordine.

(N, a_{1}, \dots, a_{n}, N)

$(N,a_1,\ldots,a_n,N)$

— Thomas Kalinowski il

@thomas: non me ne sono accorto. Ora ho aggiornato la mia soluzione.

— Yury