Problemi approssimativi # P-hard

9

Considera il classico problema # 3 P-completo # 3SAT, vale a dire, contare il numero di valutazioni per rendere soddisfacente un 3CNF con variabili. Sono interessato all'approssimabilità additiva . Chiaramente, esiste un algoritmo banale per ottenere -error, ma se , è possibile avere un algoritmo di approssimazione efficiente, o questo problema è anche # P-difficile? $n$ $2^{n-1}$ $k<2^{n-1}$

— user0928
fonte

Se

, esiste un algoritmo poly-time con errore additivo

. Se

, ci sarebbe un algoritmo a tempo multiplo randomizzato con errore additivo

. Quando

è significativamente più piccolo (ma non polinomialmente piccolo), mi aspetterei che sia NP-duro, ma non # P-duro, poiché la durezza #P di solito dipende dal fatto che sia un calcolo esatto.

k = 2^{n - 1} - p o l y (n)

$k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

k

$k$

k = 2^{n} / p o l y (n)

$k=2^{n}/\mathrm{poly}(n)$

k

$k$

k

$k$

— Thomas

Potresti fornire un riferimento per i primi due reclami? Scusa, sono un principiante ...

— user0928,

10

Siamo interessati ad approssimazioni additive a # 3SAT. cioè dato un 3CNF su variabili contano il numero di assegnazioni soddisfacenti (chiamare questo ) fino all'errore additivo . $\phi$ $n$ $a$ $k$

Ecco alcuni risultati di base per questo:

Caso 1: $k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

Qui c'è un algoritmo deterministico poli-tempo: Let . Ora valutare su ingressi arbitrarie (ad esempio, i primi lexicographically ingressi). Supponiamo che di questi input soddisfi . Quindi conosciamo quanto vi sono almeno incarichi soddisfacenti e $m=2^n-2k = \mathrm{poly}(n)$ $\phi$ $m$ $m$ $\ell$ $\phi$ $a \geq \ell$ $\ell$ $a \leq 2^n - (m-\ell)$ poiché ci sono almeno incarichi insoddisfacenti. La lunghezza di questo intervallo è . Quindi, se produciamo il punto medio questo è entro della risposta corretta, come richiesto. $m-\ell$ $2^n - (m-\ell) - \ell = 2k$ $2^{n-1} -m/2 + \ell$ $k$

Caso 2: $k=2^n/\mathrm{poly}(n)$

Qui abbiamo un algoritmo randomizzato poly-time: Valuta at punti casuali . Lascia $\phi$ $m$ $X_1, \cdots, X_m \in \{0,1\}^n$ e. Emettiamo. Per avere questo errore al massimoabbiamo bisogno diche equivale a $\alpha = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \phi(X_i)$ $\varepsilon = k/2^n$ $2^n \cdot \alpha$ $k$

k \geq | 2^{n} α - a | = 2^{n} | α - a / 2^{n} |,

$k \geq |2^n \alpha - a| = 2^n |\alpha - a/2^n|,$

Di unlimite di Chernoff,

come

. Ciò implica che, se scegliamo

| α - a / 2^{n} | \leq ε .

$|\alpha - a/2^n| \leq \varepsilon.$

P [| α - a / 2^{n} | > ε] \leq 2^{- Ω (m ε^{2})},

$\mathbb{P}[|\alpha - a/2^n| > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(m \varepsilon^2)},$

E [ϕ (X_{i})] = E [α] = a / 2^{n}

$\mathbb{E}[\phi(X_i)]=\mathbb{E}[\alpha]=a/2^n$

(e assicurati che

sia una potenza di

), quindi con probabilità almeno

, l'errore è al massimo

.

m = O (1 / ε^{2}) = p o l y (n)

$m=O(1/\varepsilon^2) = \mathrm{poly}(n)$

m

$m$

2

$2$

0.99

$0.99$

k

$k$

Caso 3: per $k=2^{cn + o(n)}$ $c < 1$

$\psi$ $m$ $n \geq m$ $k < 2^{n-m-1}$ $n = O(m/(1-c))$ $\phi=\psi$ $\phi$ $n$ $m$ $\psi$ $b$ $\phi$ $b \cdot 2^{n-m}$ $n-m$ $\hat{a}$ $|\hat{a}-a| \leq k$ $\hat{a}$ $\phi$ $k$

| b - \hat{a} / 2^{n - m} | = | \frac{a - \hat{a}}{2^{n - m}} | \leq \frac{k}{2^{n - m}} < 1 / 2.

$|b-\hat{a}/2^{n-m}| = \left| \frac{a - \hat{a}}{2^{n-m}}\right| \leq \frac{k}{2^{n-m}} < 1/2.$

b

$b$

b

$b$

\hat{a}

$\hat{a}$

b

$b$

\hat{a}

$\hat{a}$

— Tommaso
fonte

4

Ecco un riferimento a Bordewich, Freedman, Lovász e Welsh che sviluppano questo argomento in una certa misura.

— Martin Schwarz
fonte