Per quali famiglie di grafici è Geografia generalizzata in

Come menzionato @Marzio, il seguente gioco è noto come Geografia Generalizzata .

Dato un grafico e un vertice iniziale , il gioco è definito come segue: $G=(V,E)$ $v \in V$

Ad ogni turno (alternando due giocatori), un giocatore sceglie , e quindi accade quanto segue: $u\in N(v)$

, così come tutti i suoi bordi, viene rimosso dal . $v$ $G$
(ovvero viene aggiornato per essere il vertice ). $u\to v$ $v$ $u$

Il giocatore che è costretto a selezionare un "vicolo cieco" (cioè un vertice senza bordi in uscita) perde.

In quali famiglie di grafici è calcolabile la strategia ottimale in tempo polinomiale?

Ad esempio, è facile vedere che se è un DAG, possiamo facilmente calcolare la strategia ottimale per i giocatori. $G$

graph-theory graph-algorithms gt.game-theory

— RB
fonte

Il gioco è noto come Geografia Generalizzata ed è completo per PSPACE (anche su grafici diretti planari). Vedi la complessità dei percorsi Formando giochi per alcune varianti (anche alcune varianti temporali polinomiali)

— Marzio De Biasi

Può essere più preciso? Ad esempio dal link di Marzio puoi vedere che la larghezza degli alberi limitata è sufficiente.

— domotorp,

@domotorp: Penso che GG sui grafici a griglia solida non indirizzati sia un problema aperto irrisolto (forse anche non studiato). Andrò un po 'su Google per vedere se si tratta di un nuovo problema. Mentre, nel caso dei grafici a griglia solida diretta, sembra facile simulare "buchi" usando i bordi diretti, quindi dovrebbe essere PSPACE completo.

— Marzio De Biasi

La Geografia Generalizzata (GG) è completa per PSPACE anche su grafici bipartiti diretti planari, ma, come riportato in:

Hans L. Bodlaender, Complessità dei giochi formatori di percorsi , Teorica Informatica, Volume 110, Numero 1, 15 marzo 1993, Pagine 215-245

GG (e alcune altre varianti complete di PSPACE) sono risolvibili in termini di tempo lineare nei grafici della larghezza degli alberi limitata.

NOTA LATERALE: una delle varianti di Geografia generalizzata che è stata recentemente dimostrata essere completa per PSPACE è Tron ( gioco Cicli leggeri ): dato un grafico non orientato, due giocatori scelgono due vertici di partenza diversi e poi si alternano, spostandosi verso un vertice dal rispettivo precedente in ogni passaggio. Il gioco termina quando entrambi i giocatori non possono più muoversi. Vince il giocatore che ha attraversato più vertici (è stato ipotizzato che fosse completo per PSPACE nel 1990 da Bodlaender e Kloks).
Tillmann Miltzow, Tron, un gioco combinatorio su grafici astratti (2011)

$n \times m$

               Width n
           1 2 3 4 5 6 7 8 
         1 A B A B A B A B    Winning matrix up to 8x8
         2   B B B B B B B 
         3     A B A B A B 
Height m 4       B B B B B  
         5         A B A B 
         6           B B B 
         7             A B 
         8               B

Curiosamente, la stessa matrice si ottiene se il giocatore A può scegliere un nodo iniziale arbitrario.

Come detto nei commenti, penso che la complessità di decidere se esiste una strategia vincente quando si gioca a GG su grafici a griglia solida (con forme arbitrarie, ma senza buchi) non è nota e probabilmente non è così facile provare qualcosa (in effetti il problema - in qualche modo correlato - di decidere se un grafico a griglia solida ha un percorso hamiltoniano è ancora aperto, anche se decidere se un grafico a griglia solida ha un ciclo hamiltoniano è risolvibile nel tempo polinomiale).

Un'ultima banale nota: GG è risolvibile nel tempo polinomiale anche in grafici completi.

— Marzio De Biasi
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Sei sicuro che il ciclo hamiltoniano nel grafico a griglia solida sia risolvibile nel tempo polinomiale? Come ricordo è solo sconosciuto, d'altra parte se quella griglia solida ha alcune strutture (come forma a L, forma a T, mxn, ...) è tempo polinomiale risolvibile, ma non riesco a ricordare alcun documento che lo risolva in tempo polinomiale in generale grafici a griglia solida. Hai un riferimento?

— Saeed

@Saeed Sembra che Umans e Lenhart abbiano risolto il problema aperto di vecchia data, vedi Cicli Hamiltoniani in solidi grafici a griglia . Qualche tempo fa ho cercato risultati recenti / correlati sul percorso hamiltoniano su grafici a griglia solida, ma non ho trovato nulla. (Penso che ci sia anche una domanda correlata su Cstheory da qualche parte)

— Marzio De Biasi

Grazie, è davvero fantastico e anche non è FOCS1997 molto nuovo , ma non l'ho mai visto prima!

— Saeed

Ottima risposta @MarzioDeBiasi. In realtà mi sono imbattuto in questo problema in una diversa impostazione, che può essere modellata come un grafico a griglia, ma ero anche curioso della sua generalizzazione.

— RB,

Ho trascorso mezz'ora ma non sono riuscito a trovare riferimenti per Geografia generalizzata non indirizzata. Sono sicuro che deve essere stato mostrato da qualcuno come completo di PSPACE. Forse lo sai?

— domotorp,

$1$ $c$ $G-c$ $0$ $c$ $1$

— Saeed
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