Relazione tra larghezza dell'albero e numero della cricca

Ci sono delle belle classi grafiche per le quali la larghezza dell'albero è delimitata da una funzione del numero di cricca , cioè ? $tw(G)$ $\omega(G)$ $tw(G)\leq f(\omega(G))$

Ad esempio, è un fatto classico che per qualsiasi grafico cordale , abbiamo . Quindi, le classi legate ai grafici cordali potrebbero essere dei buoni candidati. $G$ $tw(G)=\omega(G)-1$

graph-theory treewidth

— Florent Foucaud
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tw per i grafici cordali.

(G) = ω (G) - 1

$(G) = \omega(G) - 1$

— Yixin Cao,

poiché l'ampiezza dell'albero viene chiusa prendendo gli sottografi, se un grafico ha

come sottografo, allora l'ampiezza dell'albero di G deve essere almeno la larghezza dell'albero di

, che è

G

$G$

K_{n}

$K_n$

K_{n}

$K_n$

n - 1

$n-1$

— Mateus de Oliveira Oliveira,

@Matheus Penso che la domanda sia al contrario. Sta chiedendo un limite superiore e il tuo esempio dà un limite inferiore.

— Vinicius dos Santos,

@Bart Jansen: i grafici divisi sono cordali.

— Florent Foucaud,

@FlorentFoucaud, dovresti considerare di trasformare la tua modifica in una risposta.

— Vinicius dos Santos,

Risposte:

In questa pagina viene menzionato un teorema che prevede tali classi:

Teorema (Scheffler [1]) Se è il grafico di intersezione dei sottografi collegati di un altro grafico , allora . $G$ $H$ $tw(G)\leq tw(H)\omega(G)-1$

Questo generalizza il limite per i grafici cordali (per i quali è un albero) e si applica anche ai grafici ad arco circolare (quindi è un ciclo). Non so se altre teorie "standard" siano catturate da questo teorema. $H$ $H$

[1] P. Scheffler, Quali grafici hanno limitato la larghezza dell'albero? Rostocker Math. Kolloq. 41 (1990) 31-38.

— Florent Foucaud
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"inaccessibile"? vuoi dire che la carta non è online?

— vzn,

In realtà all'inizio pensavo che si trattasse di una conferenza, ma ovviamente ha alcuni numeri di pagina. C'è un sito web per la rivista ( math.uni-rostock.de/math/pub/romako ), ho chiesto se è possibile ottenere una copia.

— Florent Foucaud,

Penso che non sia difficile provarlo da soli. Forse è più veloce che ricevere una copia di carta :)

— Saeed,

@Saeed Forse, ma in particolare spero di trovare qualche discussione sull'argomento in quel documento!

— Florent Foucaud,

Teorema (6.4 in [1]): Se non ha una panoramica e nessun foro pari come sottografo indotto, allora . $G$ $tw(G)\leq 3\omega(G)/2-2$

Teorema (5,4 in [2]): Se è dispari, non ha un cut-cut della cricca e non ha un cappuccio né alcun ciclo a 4 cicli come un sottografo indotto, quindi . (In particolare, questo vale se non ha cutset a cricca e non ha cappuccio né buco uniforme come sottografo indotto.) $G$ $tw(G)\leq 6\omega(G)-1$ $G$

[1] K. Cameron, S. Chaplick, CT Hoang. Sulla struttura dei grafici (pan, even hole), 2015. https://arxiv.org/abs/1508.03062

[2] K. Cameron, MVG da Silva, S. Huang, K. Vušković. Struttura e algoritmi per grafici (senza cappuccio, anche a buco), 2016. https://arxiv.org/abs/1611.08066

— Florent Foucaud
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