Complessità dell'albero delle decisioni randomizzato tra Las Vegas e Monte Carlo

Sfondo:

La complessità dell'albero decisionale o la complessità della query è un semplice modello di calcolo definito come segue. Sia sia una funzione booleana. La complessità della query deterministica di f , indicata con D ( f ) , è il numero minimo di bit dell'ingresso x ∈ { 0 , 1 } n che devono essere letti (nel caso peggiore) da un algoritmo deterministico che calcola f ( x $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$$f$$D(f)$$x\in\{0,1\}^n$$f(x)$. Si noti che la misura della complessità è il numero di bit dell'input che vengono letti; tutti gli altri calcoli sono gratuiti.

Allo stesso modo, definiamo la complessità della query randomizzata a Las Vegas di , indicata con R 0 ( f ) , come il numero minimo di bit di input che devono essere letti in previsione da un algoritmo randomizzato a errore zero che calcola f ( x ) . Un algoritmo a errore zero produce sempre la risposta corretta, ma il numero di bit di input letti da esso dipende dalla casualità interna dell'algoritmo. (Questo è il motivo per cui misuriamo il numero previsto di bit di input letti.)$f$$R_0(f)$$f(x)$

Definiamo la complessità della query randomizzata Monte Carlo di , indicata con R 2 ( f ) , come il numero minimo di bit di input che devono essere letti da un algoritmo randomizzato a errore limitato che calcola f ( x ) . Un algoritmo delimitata errori emette sempre una risposta alla fine, ma ha solo bisogno di essere corretto con maggiore probabilità di 2 / 3 (diciamo).$f$$R_2(f)$$f(x)$$2/3$

Domanda

Cosa si sa sulla domanda se

?$R_0(f) = \Theta(R_2(f))$

È risaputo che

$R_0(f) = \Omega(R_2(f))$

perché gli algoritmi Monte Carlo sono almeno altrettanto potenti degli algoritmi di Las Vegas.

Di recente ho appreso che non esiste una separazione nota tra le due complessità. L'ultimo riferimento che posso trovare per questa affermazione è del 1998 [1]:

[1] Nikolai K. Vereshchagin, Alberi decisionali booleani casuali: numerose osservazioni, Teoretical Computer Science, Volume 207, Numero 2, 6 novembre 1998, Pagine 329-342, ISSN 0304-3975, http://dx.doi.org/ 10.1016 / S0304-3975 (98) 00071-1 .

Il limite superiore più noto di uno in termini di altro è

$R_0(f) = O(R_2(f)^2 \log{R_2(f)})$

dovuto a [2]:

[2] Kulkarni, R., & Tal, A. (2013, novembre). Sulla sensibilità frazionaria del blocco. Nel colloquio elettronico sulla complessità computazionale (ECCC) (Vol. 20, p. 168).

Ho due domande specifiche.

1. [Richiesta di riferimento]: esiste un documento più recente (dopo il 1998) che discute di questo problema?
2. Ancora più importante , esiste una funzione candidata congetturata per separare queste due complessità?

Aggiunto in v2: Aggiunto ref [2], enfatizzato la seconda domanda sull'esistenza della funzione candidata.

Per quanto ne so, questo è ancora aperto. Un documento molto recente che menziona queste quantità e alcuni limiti è Aaronson et al: parità debole (vedi http://arxiv.org/abs/1312.0036 ). Puoi anche vedere il capitolo 14 di Jukna: Funzioni booleane e il sondaggio del 1999 (ancora batte il 1998!) Di Buhrman e de Wolf. Un altro documento molto recente sulla complessità dell'albero delle decisioni randomizzato è Magniez et al: http://arxiv.org/abs/1309.7565

Infine, un breve riassunto che ho fatto per me stesso il mese scorso (senza defs):

R2 <= R0 <= D <= n

D <= N0 * N1 <= C ^ 2 <= R0 ^ 2

s <= bs <= C <= s * bs <= bs ^ 2 (nuovo: [Gilmer-Saks-Srinivasan]: c'è f st bs ^ 2 (f) = O (C (f)))

D <= N1 * B <= B ^ 3 <= (3R2) ^ 3

deg <= D <= bs * deg <= deg ^ 3 (nuovo: [Tal]: bs <= deg ^ 2)

D <= N1 * deg

C <= b * deg ^ 2 <= deg ^ 4

La congettura della sensibilità è che s è anche polinomialmente correlata ad altri parametri.

Questa domanda è stata risolta!

$f$

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_2(f)^{2})$

e persino

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_1(f)^{2})$

$R_1(f)$

Entrambe le separazioni sono ottimali fino a fattori di registro!