La dimensione del testimone è già nota per ogni lingua NP?

La domanda mi è venuta in mente quando ho ricevuto la risposta di Dana Moshkovitz a un altro argomento .

Sia $L$ un linguaggio NP e sia $R_L$ la rispettiva relazione NP . Sappiamo che esiste un polinomio $p$ tale che:

$\forall x \in L, \\, \exists w \in \\{0,1\\}^{p(|x|)} \quad (x,w) \in R_L$

L'affermazione di cui sopra richiede solo l' esistenza di tale , ma non la obbliga a essere esplicitamente determinata . Al contrario, per ogni linguaggio NP che conosco, è già noto: $p$ $p$

Per SAT, la dimensione del testimone è uguale al numero di atomi che appaiono nella formula.
Per Hamiltonicity, la dimensione del testimone è , dove è il vertice impostato. $O(|V|)$ $V$
Per Graph 3-Coloring, la dimensione del testimone è , dove è il set di vertici. $O(|V|)$ $V$

Esiste un linguaggio NP (anche artificiale), per il quale sappiamo che esiste un polinomio limita la dimensione del testimone, ma non possiamo determinare esplicitamente ? $p$ $p$

cc.complexity-theory np

— MS Dousti
fonte

Per ogni data lingua in NP, ci sono molte relazioni NP che ne danno origine. Stai chiedendo informazioni sulle lingue

dove il polinomio minimo

è sconosciuto (cioè, dove possiamo provare a minimizzare il polinomio osservando relazioni diverse che danno origine alla stessa

), o sulle relazioni in cui il polinomio corrispondente

è sconosciuto (ma sappiamo che ne esiste uno)?

L

$L$

p

$p$

L

$L$

p

$p$

— Joshua Grochow,

@Joshua: Potrei fraintendere il tuo commento, ma se conosciamo il minimo

su tutte le relazioni per qualche problema NP-completo e se è diverso da zero, ciò non significa

p

$p$

P \neq N P

$P\neq NP$

— Cong Han,

@Cong: hai ragione. Immagino di aver inteso il minimo p che conosciamo , diciamo, ipotesi standard modulo / stato dell'arte attuale. Ad esempio, ritengo STOC 2010 spettacoli carta di Ryan Williams che se c'è una relazione per SAT con dimensioni testimone

, allora

, mostrando così la cosa è oltre la comprensione corrente.

o (n)

$o(n)$

N E X P ⊈ P / p o l y

$NEXP \not\subseteq P/poly$

— Joshua Grochow,

@Joshua: giusto, certo! Capito grazie.

— Cong Han,

Se esiste una relazione per il circuito SAT con dimensione del testimone

, dove

è il numero di ingressi al circuito e

è la dimensione del circuito, quindi sì,

k - ω (\log n)

$k-\omega(\log n)$

k

$k$

n

$n$

N E X P ⊈ P / p o l y

$NEXP \not\subseteq P/poly$

— Ryan Williams,

Se non ti dispiace i linguaggi artificiali, possiamo costruire tali problemi usando praticamente qualsiasi numero k il cui valore è sconosciuto ai matematici. Ad esempio, non conosciamo il valore di R (5,5) (il quinto numero di Ramsey ) o la dimensione del minore escluso più grande della famiglia dei grafici senza nodi (questo numero è finito a causa del teorema di Robertson-Seymour ) o il valore di BB (10), dove BB () sta per la funzione Busy Beaver . Sia k uguale a nessuno di questi numeri. Sappiamo che k è finito, ma non conosciamo il valore di k.

Ora costruisci qualche problema in NP dove il testimone è di dimensione . Dalla parte superiore della mia testa non riesco a pensare a un bel modo di farlo, ma ecco un modo. Lascia che l'input sia una descrizione sintetica di un grafico. Poiché la dimensione della descrizione è n, il grafico si trova in modo esponenziale su molti vertici. (Ad esempio, forse l'ingresso è un circuito che accetta due ingressi xey e ti dice se (x, y) è un bordo nel grafico.) La domanda è determinare se il grafico contiene un percorso di lunghezza . Questo problema è in NP perché il prover può inviare in ordine l'elenco dei vertici sul percorso, che il verificatore può controllare. La dimensione del testimone è . $O(n^k)$ $n^k$ $n^k$

— Robin Kothari
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