Un problema di partizionamento dei bordi su grafici cubici

È stata studiata la complessità del seguente problema?

Ingresso : un cubo (o -normali) grafo G = ( V , E ) , un naturale limite superiore $3$$G=(V,E)$$t$

Domanda : esiste una partizione di in | E | / 3 parti di dimensioni 3 tali che la somma degli ordini dei sottografi corrispondenti (non necessari collegati) sia al massimo t ?$E$$|E|/3$$3$$t$

Lavoro correlato Ho trovato alcuni articoli in letteratura che dimostrano le condizioni necessarie e / o sufficienti per l' esistenza di una partizione in alcuni grafici contenenti tre spigoli, che sono in qualche modo correlati, e alcuni altri su questioni di complessità computazionale di problemi che si intersecano con il sopra (ad es. la partizione deve produrre sottografi isomorfi a o P 4 e nessun peso è associato a una data partizione), ma nessuno di loro ha affrontato esattamente il problema sopra.$K_{1,3}$$P_4$

Elencare tutti questi articoli qui sarebbe un po 'noioso, ma molti di essi citano o sono citati da Dor e Tarsi .

20101024: ho trovato questo articolo di Goldschmidt et al. , che dimostrano che il problema del partizionamento dei bordi di un grafico in parti contenenti AT MOLTO i bordi , in modo tale che la somma degli ordini dei sottografi indotti sia al massimo t , è NP-completo, anche quando k = 3 . È ovvio che il problema rimane NP-completo sui grafici cubici, quando abbiamo bisogno di una stretta uguaglianza wrt k ?$k$$t$$k=3$$k$

Informazioni aggiuntive

Ho provato alcune strategie fallite. Più precisamente, ho trovato alcuni controesempi che dimostrano che:

• massimizzare il numero di triangoli non porta a una soluzione ottimale; che trovo in qualche modo contro-intuitivo, poiché i triangoli sono quei sottografi con l'ordine più basso tra tutti i grafici possibili su tre bordi;

• il partizionamento del grafico in componenti collegati non porta necessariamente a una soluzione ottimale. Il motivo per cui sembrava promettente potrebbe essere meno ovvio, ma in molti casi si può vedere che scambiare i bordi in modo da collegare un dato sottografo porta a una soluzione con un peso inferiore (esempio: provalo su un triangolo con un bordo aggiuntivo collegato a ciascuno vertice; il triangolo è una parte, il resto è una seconda, con peso totale 3 + 6 = 9. Quindi lo scambio di due bordi dà un percorso e una stella, con un peso totale 4 + 4 = 8.)

Ecco un suggerimento su come mostrare che NP è difficile. Non so se funziona o no. Innanzitutto, considera lo stesso problema con le multigrafi. La durezza NP può essere più facile da dimostrare lì. Prova a ridurre dal MAX CUT cubico che è NP anche difficile da approssimare (Berman e Karpinski "Su alcuni risultati di inapprossimabilità più stretti"). Dividi ciascun bordo in due e in ciascuno dei nuovi vertici di grado 2 attacca un vertice con un loop automatico. La tua partizione massima corrisponde a un taglio massimo?

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Ecco qualche spiegazione in più.

(1) Il problema di massimizzare (numero di fonti + numero di pozzi) su tutti gli orientamenti di un grafico cubico è correlato a MAXCUT da alcune funzioni lineari. Ciò richiede di mostrare una certa risposta tra tagli massimi e orientamenti massimi di fonti e pozzi. In una direzione, in un taglio massimo (U, V), possiamo orientare tutti i bordi da U a V. I bordi interni E (U) formano una corrispondenza, quindi possono essere orientati arbitrariamente e in modo simile per E (V), e il numero totale di sorgenti e pozzi è una funzione lineare della dimensione del taglio. Nella direzione opposta, dato un orientamento massimo di sorgenti e pozzi, la partizione U = vertici di in-gradi 0 o 1, V = vertici di in-gradi 2 o 3 dà un taglio.

(2) Nella trasformazione bisettrice che ho descritto sopra, in una configurazione ottimale ogni anello è colorato come il bordo accanto ad esso e wlog quel bordo è colorato come un altro bordo (non-loop) accanto a quella. Quindi ogni bordo bisecato ha un colore proveniente dal suo anello attaccato e un altro colore. Ciò corrisponde a un orientamento e si applica (1).