Durezza di approssimazione assumendo NP! = CoNP

Due dei presupposti comuni per dimostrare la durezza dei risultati di approssimazione sono e Unique Games Conjecture. Ci sono dei risultati di approssimazione sulla durezza che assumono ? Sto cercando il problema tale che "è difficile approssimare all'interno di un fattore meno che ".$P \neq NP$$NP \neq coNP$$A$$A$$\alpha$$NP = coNP$

È noto che "mostrare la durezza NP del fattore per il problema vettoriale più breve implicherebbe che ". Nota che questo è "l'opposto" di ciò che sto cercando.$n$$NP = coNP$

Chiarimento: è possibile che e ancora la domanda P vs NP sia aperta. Sto cercando la durezza del risultato di approssimazione che diventerà falsa se ma non è influenzato (vale a dire, rimane ancora come una congettura) da .$NP=coNP$$NP=coNP$$P \neq NP$

Ecco un'osservazione semplice. Se si assume , allora è abbastanza facile vedere che ci sono ottimizzazione che non hanno nemmeno buoni algoritmi di approssimazione non deterministica , in un certo senso.$NP \neq coNP$$NP$

Ad esempio, il teorema di PCP afferma che è possibile tradurre SAT nel problema di distinguere se delle clausole è soddisfatto e tutte le clausole sono soddisfatte, per alcuni . Supponiamo che esista un algoritmo non deterministico in grado di distinguere tra questi due casi, nel senso che l'algoritmo non deterministico può riportare in ciascun percorso di calcolo "tutti soddisfatti" o "al massimo ", e dice "al massimo "in qualche percorso se al massimo può essere soddisfatto, altrimenti dice" tutto soddisfatto "in ogni percorso di calcolo se tutte le equazioni possono essere soddisfatte. Questo è sufficiente per decidere SAT in ,$1-\varepsilon$$\varepsilon > 0$$1-\varepsilon$$1-\varepsilon$$1-\varepsilon$$coNP$$NP=coNP$. Sembra chiaro che l'esistenza di un tale algoritmo non deterministico non ha alcuna influenza sul fatto che .$P = NP$

È abbastanza plausibile che esista uno scenario più "naturale": un problema di ottimizzazione che è difficile approssimare nel tempo polinomiale deterministico in ma non è noto per essere difficile in . (Questo è probabilmente ciò che volevi davvero chiedere.) Molti risultati sulla durezza dell'approssimazione sono provati per la prima volta in base a ipotesi più forti (ad es. non in tempo subsponenziale o non in B P P ). In alcuni casi, i miglioramenti successivi indeboliscono il presupposto necessario, a volte fino a P ≠ N P$NP \neq coNP$$P \neq NP$$NP$$NP$$BPP$$P \neq NP$. Quindi c'è speranza che ci sia una risposta leggermente più soddisfacente alla tua domanda di questa. È difficile chiedersi come ci potrebbe essere un problema che non può essere dimostrata difficile da approssimare in polytime deterministico sotto , ma può essere provato duro sotto N P ≠ c o N P . Ciò significherebbe che N P ≠ c o N P ci dice qualcosa sui calcoli deterministici che P ≠ N P non dice già; intuitivamente, questo è difficile da capire.$P \neq NP$$NP \neq coNP$$NP \neq coNP$$P \neq NP$

Disclaimer: questa non è una risposta diretta.

In realtà ci sono molte più condizioni di durezza oltre a P! = NP e UGC. David Johnson ha scritto una bellissima rubrica per Transactions on Algorithms nel 2006 proprio su questo problema. Elenca i numerosi diversi presupposti utilizzati per mostrare la durezza e il modo in cui si relazionano tra loro.

Sfortunatamente, queste sono tutte classi NP vs deterministiche (ad eccezione di NP e co-AM). NP vs co-NP non è affatto coperto.

è un'ipotesi forte di P ≠ N P dal N P ≠ c o N P implica P ≠ N P . Quindi, qualsiasi durezza del risultato di approssimazione presupponendo che P ≠ N P segua anche l'assunto N P ≠ c o N $NP \ne coNP$$P \ne NP$$NP\ne coNP$$P\ne NP$$P\ne NP$$NP\ne coNP$

Questa non è una risposta diretta

$\prod_2^P$$NP \ne coNP$$NP$$\prod_2^P$

Noga Alon, colorazioni limitate di grafici