Una caratterizzazione a profondità fissa di

Questa è una domanda sulla complessità del circuito. (Le definizioni sono in fondo.)

Yao e Beigel-Tarui dimostrato che ogni $ACC^0$ famiglia di circuiti di dimensione $s$ ha una famiglia circuito equivalente formato $s^{poly(\log s)}$ di profondità due , dove la porta di uscita è una funzione simmetrica e il secondo livello consiste di $AND$ porte di $poly(\log s)$ fan-in. Si tratta di un "collasso di profondità" abbastanza notevole di una famiglia di circuiti: da un circuito di profondità 100 è possibile ridurre la profondità a 2, con solo un esplosione quasi polinomiale (e un cancello elegante ma ancora limitato nella parte superiore).

La mia domanda: esiste un modo noto per esprimere una famiglia di circuiti $TC^0$ allo stesso modo? Più ambiziosamente, che dire di una famiglia di circuiti $NC^1$ ? Le risposte potenziali avrebbero la forma: "Ogni circuito $TC^0$ di dimensione $s$ può essere riconosciuto da una famiglia di profondità due di dimensione $f(s)$ , in cui la porta di uscita è una funzione di tipo $X$ e il secondo livello di porte ha tipo $Y$ " .

Non deve essere profondità due, qualsiasi tipo di risultato a profondità fissa sarebbe interessante. Provare che ogni circuito può essere rappresentato in profondità 3 da un circuito costituito solo da gate di funzioni simmetriche sarebbe molto interessante. $TC^0$

Alcune osservazioni minori:

Se la risposta è banale per qualsiasi funzione booleana (possiamo esprimere qualsiasi funzione come di s). Per concretezza, richiediamo . $f(n)=2^n$ $OR$ $2^n$ $AND$ $f(n) = 2^{n^{o(1)}}$
La risposta è anche banale se o possono essere una funzione arbitraria calcolabile in ... :) Sono ovviamente interessato a funzioni "più semplici", qualunque cosa significhi. È un po 'scivoloso da definire perché ci sono famiglie di funzioni simmetriche che sono incomprensibili. (Ci sono linguaggi unari che sono inequivocabili.) Se lo desideri, puoi semplicemente sostituire e con funzioni simmetriche nell'istruzione , tuttavia sarei interessato a qualsiasi altra scelta accurata di gate. $X$ $Y$ $TC^0$ $X$ $Y$

(Ora per alcuni brevi ricordi della notazione:

è la classe riconosciuta da una famiglia di circuiti di fan-in a profondità costante illimitati con , e $ACC^0$ $AND$ $OR$ porte per una costante indipendente dalla dimensione del circuito. A gate restituisce se la somma dei suoi ingressi è divisibile per . $MOD_m$ $m > 1$ $MOD_m$ $1$ $m$

è la classe riconosciuta da circuiti a profondità costante con cancelli illimitata fan-in. $TC^0$ $MAJORITY$

è la classe riconosciuta dai circuiti a profondità logaritmica conporte , , di fan-in limitate. $NC^1$ $AND$ $OR$ $NOT$

È noto che quando la dimensione del circuito è limitata per essere polinomiale nel numero di ingressi.) $ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

cc.complexity-theory circuit-complexity upper-bounds

— Ryan Williams
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Si noti che un circuito di profondità

polinomiale costituito da porte simmetriche può essere calcolato da un circuito di profondità polinomiale

costituito da porte MAJ. (Qui come al solito la dimensione è il numero di fili). Quindi sostanzialmente stai chiedendo se

può essere ridotto in profondità a se stesso?

k

$k$

k + 1

$k+1$

T C^{0}

$TC^0$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen,

Sì, è un modo di vederlo! In generale, sto cercando eventuali simulazioni a profondità fissa interessanti di

T C^{0}

$TC^0$

N C^{1}

$NC^1$

— Ryan Williams,

Ryan, non vedo che tipo di risposta cerchi qui. Se stai davvero parlando di cancelli simmetrici, allora (poiché questi possono essere simulati dalla maggioranza in profondità due), la tua domanda è equivalente al crollo di TC0 a profondità costante (forse con un lieve aumento superpininomiale delle dimensioni) - un noto problema aperto. Se sei disposto a "rilassare" la simmetria, allora il risultato di Barrington sembra buono come puoi sperare?

— Noam,

@Noam: mi piacerebbe vedere se ci sono altre risposte interessanti; in caso contrario, darò il 300 a Lance. Esistono anche possibilità intermedie, ad esempio circuiti a tre profondità con una funzione simmetrica all'uscita ma non necessariamente simmetrica sugli altri due strati. Comunque, farti pensare per 5 minuti vale già la taglia 300.

— Ryan Williams,

E ora (dopo l'8 novembre) conosciamo l'origine di questa domanda ...

— slimton,

Ecco una leggera espansione del mio commento alla risposta di Boaz. Agrawal, Allender e Datta nel loro articolo Su , e Circuiti aritmetici $TC^0$ $AC^0$ danno una caratterizzazione di in termini di circuiti aritmetici. Vale a dire, mostrano che una lingua è in se e solo c'è una funzione in e un numero intero $TC^0$ $A$ $TC^0$ $f$ $\sharp AC^0$ tale che $k$

if e only if $x \in A$ . $f(x) = 2^{|x|^k}$

Si noti che è una forma speciale di circuito aritmetico a profondità costante su (sono consentite solo le costanti 0 e 1 e gli ingressi variabili possono essere $\sharp AC^0$ $Z$ $x_i$ o ). $1-x_i$

Dato che, come sottolinea Boaz nella sua risposta, esiste una riduzione della profondità non banale per i circuiti aritmetici, questo potrebbe essere qualcosa da considerare.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
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Il teorema di Barrington dovrebbe procurarti circuiti di profondità 3 a dimensione poli per $NC^1$ con un gate superiore che non è troppo strano (moltiplica 5 cicli).

— Lance Fortnow
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Sono d'accordo che il teorema di Barrington implica qualcosa di interessante qui. Ma questo gate di uscita è una funzione molto "non simmetrica" :)

— Ryan Williams,

In realtà sembra che tu abbia un circuito di profondità 1 ... Rappresentando una permutazione come (diciamo) una matrice booleana 5x5, sono solo proiezioni al gate di permutazione-moltiplicazione.

— Noam,

$f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$ $O(\log n)$ $O(n)$ $g$ $NC_0[n^{\epsilon}]$ $f$ $2^{n-o(n)}$ $f$ $g$ $NC^1$

— Boaz Barak
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T C^{0}

$TC^0$

O (n / (ε \log \log n))

$O(n/(\varepsilon \log \log n))$

ε \log n

$\varepsilon \log n$

g

$g$

f

$f$

Kristoffer, puoi aggiungere il tuo link come risposta separata? Grazie!

— Ryan Williams,

o (n)

$o(n)$

n^{ϵ}

$n^{\epsilon}$

2^{n - o (n)}

$2^{n-o(n)}$