Complessità dell'esagono con ordine di turno casuale.

Ho pensato a una variante di esagono , in cui invece che i due giocatori si muovono alternativamente, ogni turno un giocatore scelto a caso fa una mossa. Quanto è difficile determinare le possibilità per ogni giocatore di vincere? Questo problema è ovviamente in PSPACE, ma non può essere NP-difficile, tanto meno PSPACE completo. Le difficoltà derivano da come la casualità rende impossibile per un giocatore essere costretto a scegliere tra le opzioni; se quel giocatore è fortunato, ottiene abbastanza mosse due prendono entrambe le opzioni, e se il giocatore è sfortunato l'avversario ottiene abbastanza mosse per bloccare entrambe le opzioni. D'altra parte, non riesco a pensare a nessun algoritmo del tempo polinomiale per questo.

cc.complexity-theory board-games

— Itai Bar-Natan
fonte

Sia S una stringa binaria n-bit che rappresenta quale giocatore sta giocando il turno. Nel peggiore dei casi, recuperi il gioco esadecimale standard se la sequenza casuale è 010101 ... o 101010 .... Quindi, il tuo problema è difficile almeno quanto l'esagono standard.

— Mohammad Al-Turkistany,

Esistono due possibili interpretazioni di questo gioco. (1) Poco prima di ogni turno, i giocatori lanciano una moneta per determinare chi va dopo. (2) All'inizio del gioco, i giocatori lanciano una moneta volte (su un tabellone di dimensioni ) e usano questa sequenza per i loro turni. Il Turkistany sembra assumere il modello (2); la domanda originale è ambigua, ma da alcune delle sue parole immagino che Itai stia chiedendo (1), che potrebbe essere più facile dell'esagono standard.

n^{2}

$n^2$

n

$n$

— Peter Shor,

In effetti, intendo la prima interpretazione, che la moneta viene lanciata proprio prima della mossa. Inoltre, ho notato un'altra ambiguità nella mia domanda: la precisione con cui voglio conoscere la probabilità. Mentre l'impressione che ho lasciato quando ho chiesto il problema è che voglio conoscere la probabilità in completa precisione, ma voglio solo conoscere la probabilità in precisione logaritmica. Come la differenza tra PP e BPP, il successivo sembra più utile e naturale.

— Itai Bar-Natan,

@Itai: un'altra domanda. Perché affermi che questo è ovviamente in PSPACE? Mi sembra che sia un gioco arbitrato, il che significherebbe che il limite superiore teorico della complessità naturale è EXPTIME. Vedi Feige e Kilian, "Making Short Games".

— Peter Shor,

@tukistany Inutile NON implica banale!

— Jeffε,

Potresti voler leggere l'articolo "Random-Turn Hex e altri giochi di selezione" di Yuval Peres, Oded Schramm, Scott Sheffield e David Wilson. Dall'introduzione:

"L'esagono a turno casuale è lo stesso dell'esagono ordinario, tranne per il fatto che invece di alternare i turni, i giocatori lanciano una moneta prima di ogni turno per decidere chi può posizionare la pietra successiva. Sebbene l'esagono ordinario sia notoriamente difficile da analizzare, la strategia ottimale per Casuale -Turn Hex risulta essere molto semplice. "

Quindi, in effetti, la tua intuizione era giusta: questo sarà in BPP (o forse in P).

— Peter Shor
fonte

Sono solo stupito che la gente abbia davvero lavorato su questo :) Bel riferimento!

— Suresh Venkat,

È anche una bella prova. Penso di aver sentito Scott Sheffield menzionarlo in uno dei suoi discorsi (ma poi me ne sono completamente dimenticato fino a quando non è apparso su Google).

— Peter Shor,

Inoltre, il sito Web di David Wilson in realtà ha un'applicazione che ti permette di giocare a Hex a turni casuali (contro la loro strategia pubblicata, credo): dbwilson.com/#software

— Andy Drucker

Nella sua ultima visita in Israele, ispirato al giornale del PSSW, Oded Schramm e io abbiamo giocato un bel po 'di scacchi a turni casuali per renderci conto che non è un gioco particolarmente interessante.

— Gil Kalai,

Si scopre che esiste una connessione notevole (dovuta a David Richman) tra giochi a turni casuali e giochi di offerte , in cui i giocatori fanno un'offerta per la mossa successiva; vedi arxiv.org/pdf/0812.3677.pdf e users.math.yale.edu/~sp547/pdf/Discrete-bidding-games.pdf Questa connessione consente un gioco essenzialmente ottimale di offerte esadecimali, usando il lavoro di Peres et al. Mi piace perché i giochi di offerta sono, almeno apparentemente, senza fortuna e penso che fare offerte a esagoni sarebbe più soddisfacente di giocare a esagoni a turno casuale. (Fare offerte ogni turno potrebbe essere un compito esasperante, tuttavia.)

— Andy Drucker,