Restrizioni casuali e connessione alla totale influenza delle funzioni booleane

Supponiamo di avere una funzione booleana e applichiamo restrizione -Random sul . Inoltre, supponiamo che l'albero decisionale che calcola riduca alla dimensione come risultato della restrizione casuale. Ciò implica che ha un'influenza totale molto bassa?δ f T f O ( 1 ) $f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}$$\delta$$f$$T$$f$$O(1)$$f$

Reclamo: Se -restrizione casuale di ha un albero decisionale di dimensioni (in attesa), allora l'influenza totale di tale è .f O ( 1 ) f O ( δ - 1$\delta$$f$$O(1)$$f$$O(\delta^{-1})$

Schizzo di prova: per definizione di influenza abbiamo . Cerchiamo il limite superiore applicando prima una limitazione , quindi selezionando tra le coordinate rimanenti e fissando a tutto casuale tranne .Pr x , i [ f ( x ) ≠ f ( x + e i ) ] δ i ∈ [ n ] x $Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\delta$$i \in [n]$$x_i$

Ora, se -restriction riduce l'albero decisionale di alla dimensione , in particolare la -restriction di dipende da coordinato. Selezioniamo ora una coordinata casuale non fissata (tra ) e fissiamo tutte le altre in modo casuale. Poiché la limitazione di dipende al massimo dalle coordinate , otteniamo una funzione (su un bit) che non è costante con probabilità al massimo . Pertanto , come richiesto.f O ( 1 ) δ f r = O ( 1 ) δ n δ f r $\delta$$f$$O(1)$$\delta$$f$$r = O(1)$$\delta n$$\delta$$f$$r$ Inf(f)=n⋅Prx,i[f(x)≠f(x+ei)]≤$\frac{r}{\delta n}$$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)] \leq \frac{r}{\delta}$

Nota: la rivendicazione di cui sopra è rigorosa assumendo una funzione di parità sui bit .$O(1/\delta)$