Sono noti limiti generali efficienti in stile Bonferroni?

Un classico problema nella teoria della probabilità è esprimere la probabilità di un evento in termini di eventi più specifici. Nel caso più semplice, si può dire . Scrittura di Let per l'evento . $P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]$ $AB$ $A \cap B$

Esistono quindi alcuni modi per legare , senza assumere l'indipendenza dei molti eventi finiti . Bonferroni ha dato il limite superiore (questo a volte è anche attribuito a Boole ), e Kounias lo ha perfezionato in $P[\cup A_i]$ $A_i$

P [\cup A_{i}] \leq \sum P [A_{i}]

$P[\cup A_i] \le \sum P[A_i]$

P [\cup A_{i}] \leq \sum_{i} P [A_{i}] - max_{j} \sum_{i \neq j} P [A_{i} A_{j}] .

$P[\cup A_i] \le \sum_i P[A_i] - \max_j \sum_{i \ne j} P[A_i A_j].$

La struttura di dipendenza degli eventi può essere considerata come un ipergrafo ponderato con vertici , con il peso di un bordo che rappresenta la probabilità dell'evento associato all'intersezione dei vertici nel bordo. $A_i$

Un argomento in stile inclusione-esclusione considera insieme sempre più grandi sottogruppi di eventi. Questi producono i limiti di Bonferroni . Questi limiti utilizzano tutti i pesi per bordi fino a una dimensione . $k$

Se la struttura di dipendenza è "abbastanza carina", allora il Lemma locale di Lovász può essere usato per limitare la probabilità lontano dai valori estremi 0 e 1. Contrariamente all'approccio di Bonferroni, la LLL usa informazioni piuttosto grossolane sulla struttura di dipendenza.

Supponiamo ora che relativamente pochi pesi nella struttura delle dipendenze siano diversi da zero. Inoltre, supponiamo che vi siano molti eventi indipendenti dal punto di vista della coppia ma non indipendenti (e più in generale, è del tutto possibile che un insieme di eventi non sia reciprocamente indipendente ma sia indipendente dal lato per ogni ). $k$ $r$ $r < k$

È possibile utilizzare esplicitamente la struttura di dipendenza degli eventi per migliorare i limiti di Bonferroni / Kounias, in un modo che può essere calcolato in modo efficiente?

Mi aspetto che la risposta sia sì, e apprezzerei i puntatori ai riferimenti. Sono a conoscenza del documento di Hunter del 1976, ma si occupa solo di dipendenze a coppie. Hunter considera di estendere gli alberi nel grafico formato ignorando i bordi nella struttura di dipendenza di dimensione 3 o superiore.

David Hunter, An Upper Bound for the Probability of a Union , Journal of Applied Probability 13 597–603. http://www.jstor.org/stable/3212481

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— András Salamon
fonte

Penso che troverai la risposta nel documento "Inclusione approssimativa-esclusione" di Linial e Nisan: http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/approx_incl_excl.pdf

— Aryeh
fonte

Sembra molto rilevante (il link ufficiale è link.springer.com/article/10.1007/BF02128670 ); c'è anche un link di follow-up.springer.com/article/10.1007/BF01271266 di Jeff Kahn, Nathan Linial e Alex Samorodnitsky.

— András Salamon,