Ci sono massimi locali nel numero di mosse richieste per risolvere un cubo di Rubik?

Peter Shor ha sollevato un punto interessante in relazione al tentativo di rispondere a una domanda precedente sulla complessità della risoluzione del cubo di Rubiks . Avevo pubblicato un tentativo piuttosto ingenuo di dimostrare che doveva essere contenuto in NP. Come ha sottolineato Peter, il mio approccio fallisce in alcuni casi. Un potenziale caso di tale istanza è dove esiste un massimo locale nella lunghezza del percorso. Con questo voglio dire che può prendere mosse per risolvere il cubo dalla configurazione , e sia o mosse per risolvere il cubo da qualsiasi posizione che può essere raggiunto in un movimento da . Ora, questo non è necessariamente un problema se $n \times n \times n$ $S_A$ $A$ $S_A$ $S_A - 1$ $A$ $S_A$ è il numero massimo di mosse richieste per risolvere il cubo in generale ( Numero di Dio per quel cubo), ma è sicuramente un problema se è strettamente inferiore al Numero di Dio per quel cubo. Quindi la mia domanda è: esistono tali massimi locali? Anche una risposta per il cubo potrebbe interessarmi. $S_A$ $3 \times 3 \times 3$

co.combinatorics puzzles

— Joe Fitzsimons
fonte

Anche se non ho un esempio, sarei sorpreso se non ci fosse, perché ciò implica che possiamo calcolare il numero di Dio semplicemente trovando una configurazione che è un massimo locale (questo non è un argomento rigoroso, però).

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi Ah, ma forse non si sarebbe saputo se esistessero o meno i massimi locali fino a dopo il calcolo del Numero di Dio! Ma sono d'accordo sul fatto che mi aspetto che esistano questi massimi locali. Semplicemente non lo so per certo, e sarei interessato a scoprirlo.

— Joe Fitzsimons,

@Joe: Sì, questo è esattamente ciò che non è rigoroso nella mia discussione. Sarei sorpreso più rigorosamente :) se è possibile dimostrare che non ci sono massimi locali senza eseguire la ricerca esaustiva.

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi Sembra che i massimi locali non possano verificarsi per percorsi molto brevi, e sembra probabile che esistano solo vicino al numero di Dio, motivo per cui penso che non sia così preciso che esistano.

— Joe Fitzsimons,

So che i grafici di Cayley per gruppi arbitrari possono avere massimi locali. Dimentico dove ho visto questo risultato, ma sono certo di averlo visto da qualche parte. Quindi, a meno che il gruppo cubo di Rubik non sia in qualche modo speciale, ci si aspetta che abbia anche i massimi locali.

— Peter Shor,

Risposte:

Fare a Tomas Rokicki questa domanda ha immediatamente dato la risposta corretta ("sì, esistono massimi locali"):

Se una posizione mostra una simmetria totale, è necessariamente un massimo locale (tutti tranne l'inizio). Un piccolo pensiero dovrebbe chiarire perché questo è il caso nel QTM [metrica di un quarto di giro]. Per l'HTM [metrica a mezzo giro] è un po 'più sottile ma non troppo male.

...

Tale posizione è pons asinorum, che è distanza 12 in QTM e distanza 6 in HTM (U2D2F2B2L2R2).

Non vedo perché questo sia il caso della metrica di mezzo giro; ma per la metrica di un quarto di giro è chiaro. In una posizione con simmetria totale, tutte le posizioni vicine devono avere la stessa lunghezza del percorso (poiché tutti i movimenti sono equivalenti per simmetria). Quindi una posizione con simmetria totale deve essere un massimo locale o un minimo locale rigoroso. Ma non possono esistere rigidi minimi locali ... ci deve essere qualche mossa che riduce la distanza dallo stato risolto, proprio dalla definizione della distanza. L'argomento di simmetria si traduce nel cubo , così come la posizione di esempio fornita. $n \times n \times n$

— mjqxxxx
fonte

Che semplice discussione, questo è geniale!

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Eccellente, è una discussione molto bella!

— Joe Fitzsimons,

Ecco un argomento estremamente euristico che suggerisce dove possono essere trovati i massimi locali. Sia il numero di posizioni che richiedono esattamente mosse per essere risolte. Ogni spostamento da tale posizione porta il cubo alla distanza , o ; quindi ci sono un totale di posizioni accessibili. Ci sono mosse da ogni posizione, portando a nuove posizioni; una posizione a distanza $N_d$ $d$ $d-1$ $d$ $d+1$ $N_{d-1} + N_d + N_{d+1}$ $M$ $M$ $d$ è un massimo locale quando nessuna di queste posizioni si trova alla distanza . Se prendiamo queste posizioni per essere disegnate in modo uniforme a caso dalle posizioni accessibili (che, ovviamente, non lo sono; questa è la parte euristica), abbiamo: $M$ $d+1$

\begin{array}{rcl} X_{d} & = & P [a given position at d is a local max] \\ = & {(\frac{N_{d - 1} + N_{d}}{N_{d - 1} + N_{d} + N_{d + 1}})}^{M} \\ = & {(1 + \frac{N_{d + 1}}{N_{d - 1} + N_{d}})}^{- M} . \end{array}

$\begin{eqnarray} X_d &=& P\left[\text{ a given position at }d\text{ is a local max }\right] \\ &=& \left(\frac{N_{d-1} + N_d}{N_{d-1} + N_d + N_{d+1}}\right)^M \\ &=& \left(1 + \frac{N_{d+1}}{N_{d-1} + N_d}\right)^{-M}. \end{eqnarray}$

$d$ $N_d X_d$

$3 \times 3 \times 3$ $M=18$ $N_d$ $N_{16} X_{16} = 0.2$ $N_{17} X_{17} = 9 \times 10^9$ $N_{18} X_{18} = 1.5 \times 10^{19}$ . Quindi è improbabile che ci siano massimi locali per $d \le 16$ $d=17$ $12 \times 10^{18}$ $d=18$

— mjqxxxx
fonte

N_{d - 1} + N_{d} + N_{d + 1}

$N_{d-1}+N_{d}+N_{d+1}$

N_{d}

$N_d$

d

$d$

d - 1

$d-1$

d

$d$

d - 1

$d-1$

d + 1

$d+1$

d

$d$ . Non ho idea di quanto comuni o rare saranno queste situazioni.

— Joe Fitzsimons,