Limiti inferiori stretti sul teorema di Savitch

Prima di tutto, mi scuso in anticipo per qualsiasi stupidità. Non sono affatto un esperto di teoria della complessità (tutt'altro! Sono un laureato che frequenta la mia prima lezione di teoria della complessità) Ecco la mia domanda. Ora il teorema di Savitch afferma che

Sembra che ci dovrebbe essere un semplice argomento combinatorio da formulare qui: ogni nodo nel grafico di configurazione per una macchina Turing deterministica ha solo un bordo in uscita, mentre ogni nodo nel grafico di configurazione di una macchina Turing non deterministica può avere più di un bordo in uscita. Quello che sta facendo l'algoritmo di Savitch è convertire i grafici di configurazione con qualsiasi bordo in uscita numerico in grafici di configurazione con $<2$ bordi in uscita.

Poiché il grafico di configurazione definisce una TM unica (non ne sono sicuro), la dimensione combinatoria di quest'ultima è quasi certamente più grande della prima. Questa "differenza" è forse un fattore di , forse meno - non lo so. Naturalmente, ci sono molti piccoli problemi tecnici da risolvere, come il modo in cui è necessario assicurarsi che non ci siano loop e così via, ma la mia domanda è se questo è un modo ragionevole per iniziare a provare una cosa del genere. $n^2$

Questa è una domanda aperta ben nota. Vedrai nella teoria della complessità molte domande aperte per le quali ti chiederesti come mai nessuno è riuscito a risolverli. Parte del motivo è che abbiamo bisogno di nuove persone come te per aiutarci a risolverli :)

Per i risultati più recenti in quest'area, che mostrano che l'algoritmo di Savitch è ottimale in alcuni modelli con restrizioni, vedere il documento FOCS di Aaron Potechin .

In particolare, parte dalla bella osservazione che, poiché il grafico di configurazione di una TM deterministica ha un solo bordo in uscita (dopo aver corretto l'input), si può pensare ad esso come un grafico non orientato, e quindi la domanda diventa qualcosa di simile al seguente: dato un grafico diretto di n vertici con due vertici speciali s , t , se lo mappiamo a un vertice N non indirizzato grafico G ′ (anche con vertici speciali s ′ , t ′ ) tale che l'esistenza di ciascun bordo in$G$$n$$s,t$$N$$G'$$s',t'$ dipenda da un bordo in G e c'è un percorso da$G'$$G$$s$a in G se e solo se c'è un percorso fra s ' ' , quanto più grande N deve essere da n .$t$$G$$s'$e in $t'$$G'$$N$$n$

Per dimostrare che l'algoritmo di Savitch è ottimale, è necessario dimostrare che deve essere almeno 2 Ω ( log 2 n ) = n Ω ( log n ) . Per mostrare L ≠ N L , è sufficiente mostrare il limite più debole che N > n c per ogni costante c . Sono abbastanza sicuro che anche N > n 10 non è noto, anche se forse qualcosa come N ≥ n 2 è noto per alcuni motivi non così interessanti.$N$$2^{\Omega(\log^2 n)} = n^{\Omega(\log n)}$$L\neq NL$$N > n^c$$c$$N > n^{10}$$N \geq n^2$

Penso che non sappiamo se sia stretto. Altrimenti sapremmo che .$L \neq NL$