Problemi polinomiali in classi di grafi definiti da sottografi ciclici indotti proibiti

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Crossposted da MO .

Sia una classe di grafi definita da un numero finito di sottografi indotti proibiti, che sono tutti ciclici (contengono almeno un ciclo). $C$

Ci sono problemi con i grafici NP-hard che possono essere risolti in tempo polinomiale per diverso da Clique e Clique cover? $C$

Se ricordo bene, questo è impossibile per un set indipendente (a meno che ). $P=NP$

La ricerca in graphclasses.org non ha trovato nessuno.

Una classe per cui la copertina di Clique e Clique è polinomiale è C5, C6, X164, X165, sunlet4, senza triangoli

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Negativo per IS e Domination è in questo documento . Pagina 2, i grafici . $S_{i,j,k}$

— joro
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In Stefan Kratsch, Pascal Schweitzer, Isomorfismo grafico per classi di grafici caratterizzato da due sottografi indotti proibiti : GI è tempo polinomiale (banalmente) risolvibile per i , ma anche (meno banalmente) per .

(K_{s}, I_{t}) -free

$(K_s, I_t)\text{-free}$

(K_{s}, K_{1, t}) -free

$(K_s, K_{1,t})\text{-free}$

— Marzio De Biasi,

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Forse è meglio annotare sulla domanda su MO anche il cross posting, se qualcuno è interessato, potrebbe piacere vedere qui le risposte / i commenti.

— RB

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@MarzioDeBiasi, perché non trasformare il tuo commento in risposta?

— Saeed,

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Penso che ci siano una serie di problemi difficili che diventano facili per i grafici senza triangoli; specialmente quelli che si occupano direttamente di triangoli come Partition Into Triangles (G ha una partizione in triangoli?). Altri esempi meno banali includono:

Problema di cutset stabile (G ha un set S indipendente in modo che GS sia disconnesso?). Vedi: Sui set stabili nei grafici, matematica applicata discreta. 105 (2000) 39-50.
Base del grafico di intersezione (G è il grafico di intersezione dei sottoinsiemi di un set di elementi a terra impostato?). Vedi: Problema [GT59] in: Garey & Johnson, Computer e intrattabilità: una guida alla teoria della completezza NP.

— Mon Tag
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Ecco alcuni esempi aggiuntivi alla risposta di Mon Tag:

Il problema del sezionatore disconnesso ( ammette un insieme di vertici tale che e il sottografo di indotto da siano disconnessi) è NP-completo (vedere qui ). È facile intuire che questo problema è polinomicamente risolvibile per i grafici senza triangoli (quindi anche il problema di Stable Cutset, come menzionato da Mon Tag). $G$ $S$ $G-S$ $G$ $S$
Riconoscere i grafici a linee triangolari è NP-completo (vedere qui ). È anche facile vedere che questo problema diventa polinomiale per i grafici di input senza triangoli.
Il calcolo della corrispondenza massima connessa è difficile (vedere qui . Una corrispondenza è connessa se, per qualsiasi coppia di bordi corrispondenti, esiste un altro margine del grafico incidente a entrambi). È possibile dimostrare che questo problema è risolvibile polinomialmente per i . $(C_3, C_4, C_5)$

— vb le
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Grazie. Quindi alcuni problemi rimangono difficili e altri no.

— joro,

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Dal commento sopra: in Stefan Kratsch, Pascal Schweitzer, Isomorfismo grafico per classi di grafici caratterizzato da due sottografi indotti proibiti : GI è tempo polinomiale (banalmente) risolvibile per , ma anche (meno banalmente) per grafici. $(K_s,I_t)\text{-free}$ $(K_s,K_{1,t})\text{-free}$

EDIT : come notato nel commento, non contiene un ciclo (ho letto l'introduzione del documento troppo rapidamente). $K_{1,t}$

Dopo averci pensato un po ', sembra facile provare quanto segue (originale?):

RISULTATO NEGATIVO: per ogni set finito in cui ogni contiene un ciclo, il problema dell'isomorfismo grafico (GI) si è limitato alla classe di grafici completi di GI. $\{H_1,...H_k\}$ $H_i$ $\mathcal{C}$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$

Dimostrazione: Fixed una classe di grafici in cui ogni contiene un ciclo, e dato , lasciare che sia la durata del ciclo più lungo del s. Sostituisci ogni bordo di con un percorso di lunghezza aggiungendo nuovi nodi (vedi figura sotto) . Per costruzione i nuovi grafici sono effetti i cicli più brevi possibili sono quelli formati da un triangolo che deve avere lunghezza $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$ $G_1,G_2$ $r$ $H_i$ $(u,v)$ $G_1,G_2$ $l = \lceil r/3 \rceil$ $l$ $(u,p_1,p_2,...,p_l,v)$ $G'_1, G'_2$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $3\lceil r/3 \rceil + 3 > r$ ; ed è facile dimostrare che sono isomorfi se e solo se l'originale sono isomorfi. $G_1,G_2$

inserisci qui la descrizione dell'immagine
Figura : un grafico a sinistra e l'equivalente grafico a destra (supponiamo che il ciclo più lungo di abbia lunghezza , quindi ogni di viene sostituito con un percorso di lunghezza . $G_1$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $G'_1$ $H_i$ $r=15$ $G_1$ $l = 5$

Possiamo anche estendere il risultato negativo al problema NPC del ciclo hamiltoniano, anzi è un corollario immediato al seguente (originale?):

Teorema : per qualsiasi , il problema del ciclo hamiltoniano rimane NP-completo anche se il grafico non contiene cicli di lunghezza . $k \geq 3$ $G$ $\leq k$

Prova Sappiamo che il problema del ciclo hamiltoniano è NPC anche su un grafico diretto planare con ciascun nodo soddisfacente: (Papdimitriou e Vazirani, su due problemi geometrici relativi al problema del venditore ambulante ). Possiamo trasformare il grafico in un grafico non orientato semplicemente aggiungendo un nodo sul bordo in entrata dei nodi che hanno , e sul bordo in uscita dei nodi che hanno . Quindi possiamo sostituire i nodi di con il gadget nella figura seguente. È facile notare che esistono solo due traversate valide ( $G$ $v$ $outdeg(v) + indeg(v) \leq 3$ $G$ $G'$ $v$ $indeg(v )=1$ $v$ $indeg(v)=2$ $G'$ zigzag ) che visitano ogni nodo del gadget esattamente una volta (percorsi rossi e verdi nella figura): i gadget non possono essere attraversati dall'alto verso il basso, altrimenti il percorso orizzontale (in entrata o in uscita) verrebbe tagliato. Inoltre, possiamo posizionare abbastanza nodi sui segmenti verticali / orizzontali dei gadget ed estendere il numero dei suoi zigzag, per garantire che non sia possibile alcun ciclo di lunghezza nel gadget o in un triangolo di 3 gadget collegati tra loro. Questo assicura che se il grafico risultante ha un ciclo hamiltoniano, anche il grafico originale ha un ciclo hamiltoniano (il contrario è immediato per costruzione del gadget). $\geq k$ $G''$ $G$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Corollario: i problemi del ciclo e del percorso hamiltoniano rimangono NP-completi anche se limitati ai grafici , dove ogni contiene un ciclo. $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$

— Marzio De Biasi
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Grazie. è albero, quindi non è ciclico o mi sto perdendo qualcosa?

K_{1, t}

$K_{1,t}$

— joro,

Hai ragione! Ho avuto un risultato negativo ... vedi se può funzionare, o se è completamente sbagliato: -S: -S

— Marzio De Biasi

Grazie. Quindi hai ottenuto un presunto risultato negativo per il ciclo GI E Hamiltoniano?

— joro,

Spero che sia corretto, questo risolverà molti problemi sconosciuti a graphclasses.org.

— joro,

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Solo un nitpick, ognuno dei cicli dovrebbe essere sth come dove è un grado di vertice , altrimenti la tua parte iff non è corretta, potrebbe essere sono isomorfi ma non .

(m + 1) d_{i}

$(m+1)d_i$

d_{i}

$d_i$

i

$i$

G_{1}, G_{2}

$G_1,G_2$

G_{1}^{'}, G_{2}^{'}

$G'_1,G'_2$

— Saeed,

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MAX-CUT rimane NP-completo.

Lemma 3.2 simple max-cut è NP-complete nelle seguenti due classi di grafici:

grafici che non contengono cicli di lunghezza al massimo , per ogni . $k$ $k \ge 3$

Stanno dividendo un bordo due volte.

Da "MAX-CUT e relazioni di contenimento nei grafici, Marcin Kaminski"

— joro
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Ma hai chiesto problemi risolti in tempo polinomiale, giusto?

— Peng O

@PengO in effetti, ma questo è un risultato negativo, quindi è impossibile essere polinomiali. Un'altra risposta mostra anche risultati negativi.

— joro,