Identificazione di bordi inutili per il percorso più breve

$G$ $M_G$ $G$ $M_G[i, j]$ $i$ $j$ $G$ $+$ $\max$

Dico che un sottografo di (con lo stesso set di vertici) è sp-equivalente a se . In altre parole, la rimozione dei bordi per passare da a non modifica la lunghezza dei percorsi più brevi; i bordi rimossi non sono necessari per alcun percorso più breve. $G'$ $G$ $G$ $M_G = M_{G'}$ $G$ $G'$

In generale non esiste un singolo sottografo sp-equivalente di che sia minimo per l'inclusione. Ad esempio, se non viene indirizzato e tutti i bordi hanno peso , qualsiasi albero di spanning di è un sottografo con sp-equivalente minimo (in effetti, qualsiasi bordo in un ciclo potrebbe essere rimosso, ma scollegare una coppia di vertici ovviamente cambia la distanza). Tuttavia, posso ancora chiamare i bordi di inutili se non si trovano in alcun sottografo con sp-equivalente minimo, necessario se sono in tutti i sotto-diagrammi con sp-equivalente minimo (cioè nella loro intersezione) e facoltativo se si trovano in alcuni di essi (es. , nella loro unione). $G$ $G$ $0$ $G$ $G$

La mia prima domanda è: queste nozioni hanno un nome standard?

La mia seconda domanda è: qual è la complessità della classificazione dei bordi di in questo modo, a seconda che non sia diretto o diretto e sulla funzione di aggregazione? $G$ $G$

(Ad esempio, per non orientato e per , i sottografi sp-equivalenti minimi coprono alberi di peso minimo, quindi almeno se tutti i pesi dei bordi sono diversi la classificazione viene facilmente calcolata calcolando l'albero di spanning minimo unico, ma in generale Non so come funzionano le cose.) $G$ $\max$

— a3nm
fonte

"Ad esempio, se G è non orientato e non ponderato, qualsiasi albero di spanning di G è un sottografo sp-equivalente minimo." Questo non sembra essere vero: in tutte le distanze sono , ma nessun albero spanning di ha questa proprietà. In realtà, nessun sottografo lo fa. Altrimenti suona come una chiave en.wikipedia.org/wiki/Graph_spanner#Distance

K_{n}

$K_n$

1

$1$

K_{n}

$K_n$

— Sasho Nikolov,

In effetti, per qualsiasi grafico non ponderato non indirizzato , non esiste alcun sottografo sp-equivalente: se un sottografo non include il bordo , quindi .

G

$G$

G^{'}

$G'$

(u, v)

$(u, v)$

1 = M_{G} [u, v] < M_{G^{'}} [u, v]

$1 = M_G[u, v] < M_{G'}[u, v]$

— Sasho Nikolov,

Penso che possiamo almeno dire che l'identificazione è facile come il percorso più breve di tutte le coppie: se c'è un bordo ma il percorso più breve da a è più corto di quel bordo, allora il bordo è "inutile" (dovremmo sempre utilizzare quel percorso più breve invece di questo bordo, in qualsiasi scenario); viceversa, se un bordo è "inutile", allora deve esserci un percorso più breve di quella lunghezza del bordo da a . Quindi basta scorrere i bordi e controllare se esiste un percorso più breve di quel bordo. (Quanto sopra è per il solito percorso più breve, non ho pensato alla regola di aggregazione .)

(u, v)

$(u,v)$

u

$u$

v

$v$

u

$u$

v

$v$

max

$\max$

— usul

Potresti cercare "preservatori di distanza"

— arnab,

Sasho Nikolov: Mi dispiace, per i grafici non orientati e non ponderati, intendevo i bordi del peso 0, non 1. Riformulando questo nella domanda.

— a3nm,

Se stai cercando un modo per nominare (o alternativamente caratterizzare) questi bordi che definisci "inutili" e "necessari", potresti riferirti ad essi rispettivamente come bordi con centralità intermedia = 0 e = 1. Ogni fronte può essere classificato come avente = 0, = 1 o in (0,1) misura di distanza nel tempo dei percorsi più corti di tutte le coppie.

Questa è una misura ben studiata dei bordi della rete e ci sono algoritmi veloci per l'aggiornamento di tutti i punteggi di centralità dei bordi sulle eliminazioni dei bordi (ma non sono sicuro di altre perturbazioni).

Una funzione di centralità è incorporata per lo più in tutte le analisi di rete che ho visto, e c'è una definizione che si applica anche ai grafici diretti:

(modifica: il link che ho dato inizialmente ha discusso solo della centralità della centralità del nodo, ma qui è l'unico articolo di Wikipedia che posso trovare che discute della centralità della marginalità: http://en.wikipedia.org/wiki/Girvan%E2%80%93Newman_algorithm Tuttavia, la marginalità è una misura standard che di solito si trova nei pacchetti di analisi di rete.)

— JimN
fonte

Penso che la differenza tra la centralità del nodo tra la centralità del bordo e la centralità del bordo sia inessenziale perché è sempre possibile aggiungere nodi intermedi ai bordi o copiare nodi e aggiungere un bordo da una copia all'altra, per ridurre una definizione all'altra. Questo è un puntatore utile, grazie per avermi informato di questo!

— a3nm,