Esiste una prova formale che il calcolo quantistico è o sarà più veloce del calcolo classico?


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Piuttosto che prove empiriche, con quali principi formali abbiamo dimostrato che il calcolo quantistico sarà più veloce del calcolo tradizionale / classico?


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@vzn: il modello di circuito ha un'implementazione in trappole ioniche, che dovrebbe presto essere in grado di gestire circa 10 qubit. La macchina Dwave non implementa il modello adiabatico, ma qualcosa chiamato "ricottura quantistica", che attualmente non è noto per produrre anche un'accelerazione congetturale per qualsiasi problema.
Peter Shor,

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@vzn: puoi sempre guardare questo articolo di Wikipedia (collegato dall'articolo a cui sei collegato). Il calcolo adiabatico quantistico deve rimanere allo stato fondamentale. La ricottura quantistica non è necessaria. Da Wikipedia: "Se il tasso di variazione [in un processore di ricottura quantistica] del campo trasversale è abbastanza lento, il sistema rimane vicino allo stato fondamentale dell'Hamiltoniano istantaneo, cioè ad un calcolo quantico adiabatico." DWave ha recentemente smesso di dire che stava facendo "calcolo quantico adiabatico" e ha iniziato a dire che stava facendo "ricottura quantistica".
Peter Shor,

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@hadsed: sono abbastanza fiducioso che DWave implementerà presto un Hamiltoniano più versatile, ma ciò non risolverà il problema che hanno che stanno funzionando a una temperatura superiore al gap energetico.
Peter Shor,

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@vzn potrebbe o dovrebbe? congettura o previsione? puoi mai prendere una decisione sulle parole da usare?
Sasho Nikolov,

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@vzn: se pensi che Feynman non consideri necessario / utile / utile fare simulazioni, allora non capisci davvero Richard Feynman. Non confondere la differenza di atteggiamento da parte sua in ciò che consiste in "conoscenza", con pigrizia intellettuale e un debole per la costruzione di castelli nel cielo. Il suo era un approccio curioso ed esigente alla scienza che deve essere emulato; se non si preoccupava molto delle prove matematiche in particolare, ciò indica semplicemente che non era prima di tutto un matematico. (Né, tuttavia, stai affrontando la domanda come matematico!)
Niel de Beaudrap,

Risposte:


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Questa è una domanda che è un po 'difficile da disimballare se non si ha familiarità con la complessità computazionale. Come la maggior parte del campo della complessità computazionale, i risultati principali sono ampiamente ritenuti ma congetturali.

Le classi di complessità tipicamente associate a un calcolo classico efficiente sono (per algoritmi deterministici) e (per randomizzati). La controparte quantistica di queste classi è . Tutte e tre le classi sono sottoinsiemi di (una classe molto potente). Tuttavia, i nostri attuali metodi di dimostrazione non sono abbastanza forti per dimostrare definitivamente che non è la stessa cosa di . Pertanto, non sappiamo nemmeno come separare formalmente da - poichéB P P B Q P P S P A C E P P S P A C E P B Q P P B Q P P S P A C E P P S P A C E P B Q PPBPPBQPPSPACEPPSPACEPBQPPBQPPSPACE, separare queste due classi è più difficile del già formidabile compito di separare da . (Se potessimo provare , otterremmo immediatamente una prova che P P S P A C E , quindi provare P B Q P deve essere almeno duro quanto il già-molto- difficile problema di dimostrare P P S P A C EPPSPACEPBQPPPSPACEPBQPPPSPACE). Per questo motivo, nell'attuale stato dell'arte, è difficile ottenere una rigorosa dimostrazione matematica che dimostri che il calcolo quantico sarà più veloce del calcolo classico.

Pertanto, di solito facciamo affidamento su prove circostanziali per la separazione delle classi di complessità. La nostra prova più forte e la più famosa è l'algoritmo di Shor, che ci permette di fattore . Al contrario, non conosciamo alcun algoritmo che possa tener conto di B P P - e la maggior parte delle persone crede che non esista; questo è uno dei motivi per cui usiamo RSA per la crittografia, per esempio. In parole povere, ciò implica che è possibile per un computer quantistico fare un fattore in modo efficiente, ma suggerisce che potrebbe non essere possibile per un computer classico fare un fattore in modo efficiente. Per questi motivi, il risultato di Shor ha suggerito a molti che B Q P è strettamente più potente di B P PBQPBPPBQPBPP(e quindi anche più potente di ).P

Non conosco argomenti seri secondo cui , tranne quelli che credono nel collasso di classi di complessità molto più grandi (che sono una minoranza della comunità). Gli argomenti più seri che ho sentito contro il calcolo quantistico provengono da posizioni più vicine alla fisica e sostengono che B Q P non catturi correttamente la natura del calcolo quantistico. Questi argomenti in genere affermano che gli stati coerenti macroscopici sono impossibili da mantenere e controllare (ad es. Perché esiste un blocco stradale fondamentale ancora sconosciuto), e quindi gli operatori su cui si basa B Q P non possono essere realizzati (nemmeno in linea di principio) nel nostro mondo .BQP=PBQPBQP

Se iniziamo a passare ad altri modelli di calcolo, un modello particolarmente semplice con cui lavorare è la complessità delle query quantistiche (la versione classica che corrisponde ad essa è la complessità dell'albero decisionale). In questo modello, per le funzioni totali possiamo dimostrare che (per alcuni problemi) gli algoritmi quantistici possono raggiungere uno speedup quadratico, anche se possiamo anche mostrare che per le funzioni totali non possiamo fare meglio di un power-6 speed e credere che quadratic sia il migliore possibile. Per funzioni parziali, è una storia totalmente diversa, e possiamo dimostrare che sono possibili accelerazioni esponenziali. Ancora una volta, questi argomenti si basano sulla convinzione che abbiamo una discreta comprensione della meccanica quantistica e non esiste alcuna barriera teorica magica sconosciuta per impedire il controllo degli stati quantistici macroscopici.


bella risposta, come sono collegati e B Q P , presumo (dalla risposta) che B P P B Q P , eppure limiti o congetture per questo? BPPBQPBPPBQP
Nikos M.,

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"perché ci sono alcuni blocchi stradali fondamentali fondamentali ancora sconosciuti ..." in realtà ci sono molti ostacoli fisici noti documentati copiosamente dagli sperimentatori, se loro o altri sconosciuti sono blocchi stradali seri è una domanda aperta ....
vzn

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@Nikos: è un contenimento di classi semplicemente provato. Per disegnare: possiamo caratterizzare B P P mediante calcoli deterministici (e reversibili) che agiscono sull'input, alcuni bit di lavoro preparati come 0 e alcuni bit casuali che sono 0 o 1 uniformemente casuali. Nel calcolo quantistico, la preparazione dei bit casuali può essere simulata da opportune trasformazioni unitarie a bit singolo (anche se li chiamiamo "qubit" quando permettiamo tali trasformazioni). Quindi possiamo facilmente dimostrare che B P P B Q P , anche se non sappiamo se questo contenimento sia rigoroso. BPPBQPBPPBPPBQP
Niel de Beaudrap il

@NieldeBeaudrap, grazie, perché non sono equivalenti? significato ? mi manca sth qui, non è (anche?) B P P una classe per tutti i calcoli randomizzati? BQPBPPBPP
Nikos M.,

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@Nikos: no, non è una classe per tutti i calcoli randomizzati. Ha una particolare definizione matematica che determina quali problemi contiene e non è noto che contenga B Q P o qualcosa del genere. Per un altro esempio, P P è anche una classe randomizzata (in cui la risposta deve essere corretta solo con probabilità> 1/2, anche se non con un margine significativo) che contiene P B P P B Q P P P e N P P P , dove tutti i contenimenti dovrebbero essere rigorosi.BPPBQPPPPBPPBQPPPNPPP
Niel de Beaudrap,

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Per la complessità computazionale, non vi è alcuna prova che i computer quantistici siano migliori dei computer classici a causa di quanto sia difficile ottenere limiti inferiori sulla durezza dei problemi. Tuttavia, ci sono impostazioni in cui un computer quantistico dimostra di fatto meglio di un computer classico. Il più famoso di questi esempi è nel modello blackbox in cui è possibile accedere tramite blackbox a una funzione e si desidera trovare la x unica per cui f restituisce 1. La misura della complessità in questo caso è il numero di chiamate a ff:{0,1}n{0,1}Xff. Classicamente, non si può fare di meglio che indovinare a caso, il che richiede in media Ω ( 2 n ) query a f . Tuttavia, usando l'algoritmo di Grover puoi ottenere lo stesso compito in O ( XΩ(2n)f.O(2n)

Per ulteriori separazioni dimostrabili, puoi esaminare la complessità della comunicazione in cui sappiamo come dimostrare limiti inferiori. Ci sono compiti che due computer quantistici che comunicano attraverso un canale quantistico possono svolgere con meno comunicazione rispetto a due computer classici. Ad esempio, il calcolo del prodotto interno di due stringhe, uno dei problemi più difficili nella complessità della comunicazione, ha una velocità quando si utilizzano computer quantistici.


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Artem Kaznatcheev fornisce un eccezionale riassunto di alcuni dei motivi principali per cui ci aspettiamo che i computer quantistici siano fondamentalmente più veloci dei computer classici, per alcune attività.

Se desideri qualche lettura aggiuntiva, puoi leggere le note di Scott Aaronson sull'informatica quantistica , che discutono dell'algoritmo Shor e di altri algoritmi che ammettono algoritmi quantistici efficienti ma non sembrano ammettere alcun algoritmo classico efficiente.

V'è un dibattito sul fatto che i computer quantistici possono essere costruite in pratica: è BQP un modello accurato della realtà, oppure c'è qualcosa che ci potrebbe impedire di costruire un computer quantico, sia per ragioni di ingegneria oa causa di barriere fisiche fondamentali? Puoi leggere gli appunti di Scott Aaronson che riassumono gli argomenti sollevati da altri e anche leggere il suo post sul blog con il suo punto di vista su quel dibattito , ma probabilmente non avremo una risposta definitiva fino a quando qualcuno non costruirà effettivamente un computer quantico in grado di svolgere compiti non banali (come il fattore numeri grandi).


"ma probabilmente non avremo una risposta definitiva fino a quando qualcuno non realizzerà effettivamente un computer quantistico in grado di svolgere attività non banali (come il fattore numeri grandi)." questo è qualcosa di un pio desiderio (che permea il campo) al confine con una frase precedente non sequitur ", il dibattito sul fatto che i computer QM possano essere costruiti nella pratica, o che ci siano barriere, ecc.". è possibile che i computer QM scalabili potrebbero non essere fisicamente realizzabili e non saranno disponibili prove teoriche o sperimentali, ma solo segnalazioni di ostacoli formidabili (cioè quasi lo stato attuale del campo sperimentale).
vzn,

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L'edificio di base del calcolo quantistico è la trasformazione Unitaria, questo è lo strumento principale per avere la velocità in molti algortitmi in letteratura. Gli algoritmi che usano Unitaries usano proprietà teoriche numeriche / numeriche dei problemi a portata di mano: ricerca di periodi, accelerazioni in passeggiate quantistiche, ecc. Le accelerazioni in problemi naturali sono ancora sfuggenti - come sottolineato. Se il factoring di grandi numeri sia la fine in sé per il calcolo quantistico, è ancora una domanda aperta. Altre domande aperte come QNC, la sua separazione da NC potrebbe ancora fornire indizi sfuggenti su ciò che i computer quantistici potrebbero fare. Ma, se l'obiettivo del computer quantistico è di fattorizzare un gran numero - potrebbe essere fattibile, di per sé in qualche futuro, con implicazioni spaventose (ovviamente sulla privacy personale)!


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in realtà l'accelerazione (ad es. nell'algoritmo di Shor) si basa sul principio di sovrapposizione di QM (che è leggermente correlato all'unità)
Nikos M.

Il "principio di sovrapposizione" è matematicamente equivalente all'affermazione che le distribuzioni quantistiche trasformano linearmente. Anche i vettori di probabilità si trasformano in modo lineare. Più che "il principio di sovrapposizione" sarebbe necessario per spiegare qualsiasi separazione quantistica / classica.
Niel de Beaudrap il

Per inciso: mentre sono personalmente d'accordo sul fatto che l'unità (al contrario, per esempio, la stocastica ) gioca un ruolo importante nel calcolo quantistico, non è chiaro che si possa dire che è "l'edificio di base" del soggetto. Calcolo quantistico basato sulla misurazione e calcolo quantistico adiabatico come esempi di modelli di controllo di qualità in cui l'unità è messa molto sul sedile posteriore e dove si richiederebbe un argomento non banale per in qualche modo reprimere l'unità, tranne nella misura in cui abbiamo inclinato il campo di gioco descrivendo "QC universale" in termini di modello di circuito unitario.
Niel de Beaudrap il

@NieldeBeaudrap, in effetti la sovrapposizione deriva dalla linearità. personalmente non contare così tanto sull'unità (ma vedremo)
Nikos M.,

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@Nikos: in effetti, puoi prendere molta più potenza (sospetta) se consideri operazioni lineari invertibili arbitrarie . Sto solo sottolineando che le superstizioni / linearità in sé non sono potenti, perché anche le trasformazioni stocastiche sono lineari e agiscono anche su sovrapposizioni - ma molti ricercatori sospettano nonostante questo. BPP=P
Niel de Beaudrap,

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Volevo rispondere ai commenti di Niel de Beaudrap in merito alla fonte di accelerazioni quantistiche, ma non posso commentare. Non so se posso pubblicare una risposta.

A mio avviso, tutte le accelerazioni quantistiche sono dovute all'entanglement. L'unico algoritmo in cui possiamo fare qualcosa di più veloce dei computer classici senza usare gli stati intrecciati è Deutsch-Jozsa per calcolare la parità di due bit. Se discutiamo di accelerazioni asintotiche, è necessario l'entanglement, e in effetti molto. Se un algoritmo quantistico necessita di una piccola quantità di entanglement, può essere simulato in modo efficiente in modo classico. Posso sottolineare il documento http://arxiv.org/abs/quant-ph/0201143 , che discute in modo specifico l'algoritmo di factoring e la quantità di entanglement richiesta.


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"A mio avviso, tutte le accelerazioni quantistiche sono dovute all'entanglement". La tua richiesta è davvero aperta al dibattito. Il ruolo dell'entanglement negli algoritmi quantistici non è completamente ben compreso. Sappiamo che l'entanglement non è una risorsa sufficiente per ottenere una accelerazione quantistica esponenziale (esistono circuiti quantistici che si intrecciano al massimo, chiamati circuiti di Clifford , che sono classicamente simulabili), dimostrando che questi non sono concetti equivalenti.
Juan Bermejo Vega,

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Inoltre, potresti voler guardare questo documento , che mostra che è sufficiente poca entanglement per eseguire il calcolo quantistico universale (per misure continue di entanglement).
Juan Bermejo Vega,

Volevo solo dire che gli algoritmi quantistici più interessanti usano l'entanglement. Quanto dipende dalla misura di entanglement e ci sono documenti che sostengono che troppa entanglement è inutile. E sì, l'entanglement da solo non è sufficiente.
costelus,

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questa è quasi la stessa domanda chiave che sta guidando qualcosa come centinaia di milioni, o forse miliardi di dollari di iniziative di ricerca nel campo del QM sia pubbliche che private in tutto il mondo. la domanda viene attaccata allo stesso tempo sia a livello sperimentale che teorico e i progressi da entrambe le parti passano dall'altra parte.

la domanda tenta di separare nettamente gli aspetti teorici e pragmatici / sperimentali di questa domanda, ma uno sperimentatore o un ingegnere sosterrebbero che sono strettamente accoppiati, inseparabili, e che il progresso storico finora sulla sfida ne è la prova / prova.

il punto seguente non vincerà certamente alcun concorso di popolarità (probabilmente a causa in qualche modo del noto / osservato pregiudizio secondo cui i risultati negativi vengono raramente riportati scientificamente), ma vale la pena notare che esiste un'opinione di minoranza / contrarian promossa da vari credibili , anche i ricercatori d'élite che il QM computing può o non si materializzerà mai fisicamente a causa di sfide insormontabili di implementazione, e c'è anche qualche giustificazione / analisi teorica per questo (ma forse più dalla fisica teorica che dalla TCS). (e nota che alcuni possono avere dubbi ma non sono disposti a mettere in discussione il "paradigma dominante"). Gli argomenti principali sono basati sulla rumorosità intrinseca del QM, sul principio di incertezza di Heisenberg e sul disordine sperimentale fondamentale delle configurazioni del QM, ecc.

ora ci sono 2 decenni abbastanza solidi di ricerca sia teorica che sperimentale e la fazione di minoranza sosterrebbe che i risultati finora non sono incoraggianti, poco brillanti, o addirittura ora stanno sfiorando una risposta negativa definitiva.

uno dei sostenitori più espliciti della visione negativa (al limite dell'estremo / irascibile!) è Dyakonov ma che comunque sostiene il caso con passione basandosi su tutti gli angoli:

si può accusare Dyakonov di quasi un polemismo, ma serve da contrappunto quasi simmetrico ad alcuni sostenitori del QM che hanno una fervida credenza nella posizione opposta (che non c'è quasi assolutamente dubbio sulla sua fattibilità futura / eventuale / inevitabile). un altro grande teorico che sostiene le limitazioni intrinseche nell'informatica QM (basato sul rumore) è Kalai. ecco un ampio dibattito tra lui e Harrow sull'argomento.

è anche naturale tracciare almeno un'analogia approssimativa con un altro massiccio / complesso progetto di fisica che finora non ha raggiunto il suo obiettivo finale dopo decenni di tentativi e predizioni ottimistiche precoci, quello di esperimenti di fusione che generano energia .


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Questo non risponde alla domanda come richiesto.
DW

in breve, la premessa implicita che la sua puramente una questione teorica sta spingendo i limiti dell'applicabilità della teoria contro la realtà al punto di essere imperfetti ... vale a dire che c'è un problema di modellizzazione al centro di esso ... fanno formalismi esistenti (attraversando entrambi TCS e fisica!) Catturare realmente / accuratamente la realtà? Dyakonov per uno potrebbe rispondere di no ... e i nuovi formalismi sono attivamente proposti dalla fazione di minoranza ...
vzn

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@vzn: con l'intesa che questo non potrebbe mai fornire una prova formale in un modo o nell'altro, potresti almeno approfondire come la componente teorica dei "due decenni abbastanza solidi di ricerca sia teorica che sperimentale" punta verso risultati che sono "non incoraggiante, poco brillante, o anche ora stanno sfiorando una risposta negativa definitiva" per quanto riguarda la fattibilità dell'informatica quantistica?
Niel de Beaudrap,

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Alla luce dell'Assioma di Dyanokov sulla precisione e i valori esatti, non è chiaro che sono io che sto approfondendo il pensiero filosofico! Dyanokov sembra essere un antirealista hardcore, uno scettico della meccanica quantistica o entrambi. Ed è poco chiaro come questi argomenti ri: precisione indirizzano il calcolo quantistico ad errore limitato, dove il teorema di soglia si applica anche al calcolo quantico a precisione limitata. In breve, non sembra aggiornato sullo stato dell'arte dell'informatica quantistica, a partire dal 1997 circa. Non vedo molto bisogno di interazioni in tempo reale, per affrontare lo scetticismo che non è aggiornato.
Niel de Beaudrap,

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Partendo dal suo abstract e da una breve lettura del suo articolo, l'argomento di Dyakonov sembra essere: dal momento che le ipotesi utilizzate nella dimostrazione del teorema di tolleranza agli errori non sono soddisfatte nel mondo reale, non vi è alcuna garanzia che il calcolo quantico funzionerà effettivamente. Se utilizzassimo questo criterio in generale, praticamente nessun risultato teorico sarebbe mai applicabile in pratica.
Peter Shor,
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