Una lingua totale che solo una lingua completa di Turing può interpretare

Qualsiasi lingua che non sia completa di Turing non può scrivere da sola un interprete. Non ho idea di dove l'ho letto, ma l'ho visto usato diverse volte. Sembra che questo dia origine a una sorta di linguaggio definitivo "ultimo" non turing; quello (i) che può soloessere interpretato da una macchina di Turing. Queste lingue non sarebbero necessariamente in grado di calcolare tutte le funzioni totali dai naturali ai naturali né sarebbero necessariamente isomorfe (cioè forse le lingue finali A e B esistono in modo tale che esiste una funzione F che A può calcolare ma B non può). Agda è in grado di interpretare il sistema T di Godel e Agda è totale, quindi un linguaggio così estremo dovrebbe essere strettamente più potente del sistema T di Godel. Mi sembra che un linguaggio del genere sarebbe almeno altrettanto potente di agda (anche se non ho prove, solo un sospetto).

Qualche ricerca è stata fatta in questo senso? Quali risultati sono noti (ovvero si conosce un linguaggio così "ultimo")?

Bonus: sono preoccupato che esista un caso patologico che non può calcolare funzioni che il Sistema T di Godel potrebbe ancora essere interpretato da una macchina di Turing perché consente di calcolare alcune funzioni davvero strane. È questo il caso o possiamo sapere che un tale linguaggio sarebbe in grado di calcolare qualsiasi cosa il Sistema T di Godel potrebbe calcolare?

Questa è una domanda mal formulata, quindi prima diamo un senso. Lo farò secondo lo stile della teoria della calcolabilità. Quindi userò i numeri anziché le stringhe: un pezzo di codice sorgente è un numero, piuttosto che una stringa di simboli. Non importa, si può sostituire con s t r i n g tutto di seguito.$\mathbb{N}$$\mathtt{string}$

Lasciate essere una funzione coppia .$\langle m, n\rangle$

Supponiamo che un linguaggio di programmazione sia dato dai seguenti dati:$L = (P, ev)$

1. un insieme decidibile di "programmi validi", e$P \subseteq \mathbb{N}$
2. un calcolabile e parziale funzione .$ev : P \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$

Il fatto che sia decidibile significa che esiste una mappa calcolabile totale v a l i d : N → { 0 , 1 } tale che v a l i d ( n ) = $P$$valid : \mathbb{N} \to \{0,1\}$ . Informalmente, stiamo dicendo che è possibile dire se una determinata stringa è un pezzo di codice valido. La funzione e v è essenzialmente un interprete per la nostra lingua: e v ( m , n ) esegue il codice m sull'input n - il risultato potrebbe essere indefinito.$valid(n) = 1 \iff n \in P$$ev$$ev(m,n)$$m$$n$

Ora possiamo introdurre alcuni termini:

1. Una lingua è totale se è una funzione totale per tutti m ∈ P .$n \mapsto ev(m,n)$$m \in P$
2. Una lingua interpreta la lingua L 2 = ( P 2 , e v 2$L_1 = (P_1, ev_1)$ $L_2 = (P_2, ev_2)$ se esiste tale che e v 1 ( u , ⟨ n , m ⟩ ) ≃ e v 2 ( n , m ) per tutto n ∈ $u \in P_1$$ev_1(u, \langle n, m \rangle) \simeq ev_2(n, m)$$n \in P$e . Qui u è il simulatore per L 2 implementato in L 1 . È anche noto come il programma universale per L 2 .$m \in \mathbb{N}$$u$$L_2$$L_1$$L_2$

Altre definizioni di " interpreta L 2 " sono possibili, ma non mi permetta di entrare in questo ora.$L_1$$L_2$

Diciamo che e L 2 sono equivalenti se si interpretano a vicenda.$L_1$$L_2$

Esiste il linguaggio "più potente" delle macchine di Turing (che si chiama "una macchina di Turing") in cui n ∈ N è una codifica di una macchina di Turing e φ ( n , m ) è la funzione calcolabile parziale che "esegue la macchina di Turing codificata da n sull'ingresso m ". Questo linguaggio può interpet tutte le altre lingue, ovviamente, dal momento che abbiamo richiesto e v di essere calcolabile.$T = (\mathbb{N}, \varphi)$$n \in \mathbb{N}$$\varphi(n,m)$$n$$m$$ev$

La nostra definizione di linguaggi di programmazione è molto rilassata. Affinché ciò accada, richiediamo altre tre condizioni:

• implementa la funzione successore: c'è$L$ tale che e v ( s u c c , m ) = m + 1 per tutti m ∈ N ,$succ \in P$$ev(succ,m) = m+1$$m \in \mathbb{N}$
• implementa la funzione diagonale: c'è d $L$ tale che e v ( d i una g , m ) = ⟨ m , m ⟩ per tutti m ∈ N ,$diag \in P$$ev(diag,m) = \langle m, m \rangle$$m \in \mathbb{N}$
• è chiuso per composizione di funzioni: se L implementa f e g implementa anche f ∘ g ,$L$$L$$f$$g$$f \circ g$

Un risultato classico è questo:

Teorema: se una lingua può interpretare se stessa, non è totale.

Prova. Supponiamo è il programma universale per un totale langauge L implementato in L , cioè per tutti m ∈ P e n ∈ N , e v ( u , ⟨ m , n ⟩ ) ≃ e v ( m , n ) . Come successore, diagonale ed e v ( u , - ) sono implementati in L , così è la loro composizione k $u$$L$$L$$m \in P$$n \in \mathbb{N}$

$$ev(u, \langle m, n \rangle) \simeq ev(m, n).$$ $ev(u, {-})$$L$ . Esiste n 0 ∈ P tale che e v ( n 0 , k ) ≃ ⟨ k , k ⟩ ) + 1 , ma poi e v ( u , ⟨ n 0 , n 0 ⟩ ) ≃ e v $k \mapsto ev(u, \langle k, k \rangle) + 1$$n_0 \in P$n 0 , n $ev(n_0, k) \simeq ev(u, \langle k, k \rangle) + 1$ Poiché non c'è un numero uguale proprio successore, ne consegue che L non è totale o che L non viene interpretata stessa. QED. $$ev(u, \langle n_0, n_0\rangle) \simeq ev(n_0, n_0) \simeq ev(u, \langle n_0, n_0 \rangle) + 1$$ $L$$L$

Ricorda che potremmo sostituire la mappa successiva con qualsiasi altra mappa senza fixpoint.

Ecco un piccolo teorema che penso risolverà un malinteso.

Teorema: ogni lingua totale può essere interpretata da un'altra lingua totale.

Prova. Sia una lingua totale. Otteniamo un L ′ totale che interpreta L confinando con L il suo valutatore e v . Più precisamente, lasciare che P ' = { ⟨ 0 , n ⟩ | n ∈ P } ∪ { ⟨ 1 , 0 ⟩ } e definire e v ' come e v ' ( ⟨ b , n ⟩ , $L$$L'$$L$$L$$ev$$P' = \{\langle 0, n\rangle \mid n \in P\} \cup \{\langle 1, 0\rangle\}$$ev'$ Ovviamente,L'è totale perchéLè totale. Per vedere cheL'in grado di simulareLbasta prendereu=⟨1,

$$ev'(\langle b, n \rangle, m) = \begin{cases} ev(n,m) & \text{if $b = 0$},\\ ev(m_0, m_1) & \text{if $b = 1$ and $m = \langle m_0, m_1 \rangle$} \end{cases}$$ $L'$$L$$L'$$L$ , Da allora e v ' ( u , ⟨ m , n ⟩ ) ≃ e v ( m , n ) , come richiesto. QED.$u = \langle 1, 0\rangle$$ev'(u, \langle m, n\rangle) \simeq ev(m, n)$

Esercizio: [aggiunto il 27/06/2014] La lingua costruita sopra non è chiusa sotto composizione. Correggi la dimostrazione del teorema in modo che L ' soddisfi i requisiti extra se L lo fa.$L'$$L'$$L$

$L$$L'$$L'$$L$$L$$L$

Qualsiasi lingua che non sia completa di Turing non può scrivere da sola un interprete.

Questa affermazione non è corretta. Considera il linguaggio di programmazione in cui la semantica di ogni stringa è "Ignora l'input e interrompi immediatamente". Questo linguaggio di programmazione non è completo di Turing ma ogni programma è un interprete per la lingua.