Il problema dell'insieme dominante è limitato ai grafici planari bipartiti di massimo grado 3 NP-completi?

Qualcuno è a conoscenza di un risultato di completezza NP per il problema DOMINATING SET nei grafici, limitato alla classe di grafici planari bipartiti di massimo grado 3?

So che è NP-completo per la classe di grafici planari di massimo grado 3 (vedi il libro Garey e Johnson), nonché per i grafici bipartiti di massimo grado 3 (vedi M. Chlebík e J. Chlebíková, "Durezza di approssimazione di domina i problemi risolti nei grafici dei gradi limitati "), ma non è stato possibile trovare la combinazione dei due in letteratura.

Che cosa succede se si esegue semplicemente quanto segue: Dato un grafico , costruire un altro grafico suddividendo ciascun bordo di in 4 parti; qui è l'insieme di nuovi nodi che abbiamo introdotto e.G ′ = ( V ∪ U , E ′ ) G U | U | = 3 | E $G = (V,E)$$G' = (V \cup U, E')$$G$$U$$|U| = 3|E|$

Il grafico è bipartito. Inoltre, se è planare e ha max. grado 3, quindi è anche planare e ha max. grado 3.$G'$$G$$G'$

Sia un set (minimo) dominante per . Considera un bordo che è stato suddiviso per formare un percorso in . Ora chiaramente almeno uno di è in . Inoltre, se abbiamo più di uno di in , possiamo modificare modo che rimanga un insieme dominante valido e le sue dimensioni non aumentino. Ad esempio, se abbiamo e , possiamo ugualmente rimuovere da e aggiungere aG ′ ( x , y ) ∈ E ( x , a , b , c , y ) G ′ a , b , c D ′ a , b , c D ′ D ′ a ∈ D ′ c ∈ D ′ c D ′ Y D ′ | D ′ ∩ U | $D'$$G'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a,b,c$$D'$$a,b,c$$D'$$D'$$a \in D'$$c \in D'$$c$$D'$$y$$D'$. Quindi wlog abbiamo.$|D' \cap U| = |E|$

Quindi prendere in considerazione . Supponiamo che e . Quindi dobbiamo avere un nodo tale che . Quindi c'è un bordo tale che abbiamo un percorso in . Poiché e , abbiamo , e per dominare dobbiamo avere . Perciò in nodo è un vicino di con . Cioè,x ∈ V x ∉ D ′ a ∈ D ′ ( x , a ) ∈ E ′ ( x , y ) ∈ E ( x , a , b , c , y ) G ′ a , b , c ∈ U a ∈ D ′ b , c ∉ $D = D' \cap V$$x \in V$$x \notin D'$$a \in D'$$(x,a) \in E'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a,b,c \in U$$a \in D'$ C y ∈ D ′ G y x y ∈ D D $b, c \notin D'$$c$$y \in D'$$G$$y$$x$$y \in D$$D$è un insieme dominante per .$G$

Al contrario, si consideri un (minimo) domina serie per . Costruisci un insieme dominante per modo checome segue: Per un bordo che è stato suddiviso per formare un percorso in'si aggiunge a se e ; aggiungiamo a se e ; e altrimenti aggiungiamo a . Ora si può verificare cheG D ′ G ′ | D ′ | = | D | + | E | ( x , y ) ∈ E ( x , a , b , c , y ) G ′ a D ′ x ∉ D y ∈ D c D ′ x ∈ D y ∉ D b D ′ D $D$$G$$D'$$G'$$|D'| = |D| + |E|$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a$$D'$$x \notin D$$y \in D$$c$$D'$$x \in D$$y \notin D$$b$$D'$$D'$è un insieme dominante per : per costruzione, tutti i nodi in sono dominati. Ora lascia . Quindi c'è un tale che , e quindi lungo il percorso abbiamo , che domina . U x ∈ V ∖ D ′ y ∈ V ( x , y ) ∈ E ( x , a , b , c , y ) a ∈ D ′$G'$$U$$x \in V \setminus D'$$y \in V$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$a \in D'$$x$

In breve, se ha un insieme dominante di dimensioni , allora ha un insieme dominante di dimensioni al massimoe se ha un insieme dominante di dimensione, quindi ha un set di dimensioni dominante al massimo .k G ′ k + | E | G ′ k + | E | G $G$$k$$G'$$k + |E|$$G'$$k + |E|$$G$$k$

Modifica: aggiunta un'illustrazione. In alto: il grafico originale ; al centro: grafico con un insieme dominante "normalizzato"; in basso: grafico con un insieme dominante arbitrario.G ′ G $G$$G'$$G'$