Decomposizione minima equidecomposibile

Dati due poliedri e Q , P e Q sono equidecomponibili se ci sono insiemi finiti di poliedri P 1 , ... , P n e Q 1 , ... , Q n tali che P i e Q i sono congruenti per tutti i , P = ∪ n i = 1 P i e Q = ∪ n i = 1$P$$Q$$P$$Q$$P_1, \ldots, P_n$$Q_1, \ldots, Q_n$$P_i$$Q_i$$i$$P = \cup_{i=1}^n P_i$ . È notoche se P e Q sono poligoni di uguale area, taleequidecomposizioneesiste sempre e che ciònonvalein generale per dimensioni superiori. $Q = \cup_{i=1}^n Q_i$$P$$Q$

Sono curioso della complessità del problema minimo di equidecomposizione:

Per due poligoni e Q , trova una equidecomposizione P 1 , ... , P n e Q 1 , ... , Q n che minimizza n .$P$$Q$$P_1, \ldots, P_n$$Q_1, \ldots, Q_n$$n$

Ci sono algoritmi (esatti, polinomiali, esponenziali, approssimativi) per questo? La complessità è nota?

Per le regioni monodimensionali disconnesse con coordinate intere, l'equidecomposizione in un numero minimo di pezzi è fortemente NP-difficile tramite una facile riduzione a 3SUM: se una forma ha segmenti le cui lunghezze sono gli ingressi 3SUM e l'altra ha segmenti le cui lunghezze sono i bin devi imballarli, quindi puoi farlo senza ulteriori tagli se l'istanza 3SUM è risolvibile. Per i poligoni bidimensionali rimane difficile, anche per le regioni connesse: ispessire i segmenti di un problema monodimensionale a rettangoli di altezza unitaria e collegarli con sottili "stringhe" che hanno un'area troppo piccola per influenzare la parte 3SUM del problema ma sono facili da gestire in decomposizione.

(Dichiarazione di non responsabilità: ho preso in prestito questa idea di riduzione da un lavoro congiunto non ancora pubblicato con molte altre persone sulla durezza di alcuni altri problemi.)