Raggiungibilità DAG con O (n log n) spazio e O (log n) -time query?

Per un grafico aciclico diretto , esiste una struttura di dati che consente query di raggiungibilità senza richiedere spazio quadratico o tempo lineare? Idealmente cerco un algoritmo usando solo O (log n) spazio per vertice e tempo logaritmico in ${\langle}V,E{\rangle}$ cui. $n=|V|+|E|$

Mi è sembrato intuitivamente ovvio che dovrebbe esistere una struttura di dati come questa, basata su una generalizzazione di algoritmi di ordinamento standard. Ma sono stato sorpreso di non averne trovato nessuno. Tutto ciò che mi sono imbattuto o ha formulato ipotesi sul grafico (ad es. Planarità) o risolto un problema più difficile nel tempo / spazio quadratico (ad es. Query intervallate da modifiche al grafico).

La pagina di Wikipedia sulla raggiungibilità copre solo un algoritmo generale (Floyd-Warshall); il resto della pagina tratta casi speciali che coinvolgono ipotesi come il grafico essendo planare (non lo è).

Il documento più comunemente citato in questo spazio sembra essere l' efficienza ammortizzata di una struttura di dati di recupero del percorso , ma questo e tutti i documenti che cita coinvolgono o O (n ^ 2) spazio o altro O (n ^ 2) tempo per consentire aggiornamenti al grafico intercalato con le query (ovvero nessuna preelaborazione).

A questa domanda non è stata data risposta, ma affronta il problema più difficile di consentire inserimenti di bordi interfogliati con le query.

Questa domanda ha richiesto una struttura di dati persistente (puro funzionale), che non è richiesta qui. Il documento "Posizioni succinte" ha bisogno di spazio ma raggiunge query ; Cerco un algoritmo di tempo peggiore, spazio migliore. $O(n^2)$ $O(1)$

Principalmente alla ricerca di un punto d'appoggio nella letteratura qui. Se c'è un documento di indagine sulla raggiungibilità dei grafici che non trascorre il 99% del suo tempo nel caso del grafico planare, ciò sarebbe d'aiuto.

graph-algorithms

— user4718
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Domanda correlata: cstheory.stackexchange.com/questions/21503/… .

— RB

Grazie per il link RB. Quella domanda e la prima risposta non riguardano lo spazio (tranne una breve menzione di un limite dello spazio quadratico, che è su ciò che questa domanda cerca di migliorare). La seconda risposta allude a un risultato negativo per le query a distanza (ovvero con valori interi o con valori reali) piuttosto che con la raggiungibilità (ovvero con un valore di {0,1}) che rappresentano un problema più semplice. Grazie comunque!

— user4718

Il routing delle scorciatoie, oi riferimenti citati da Christian Sommer alla domanda correlata, potrebbero funzionare in pratica. Stai cercando un approccio pratico o limiti inferiori teorici?

— András Salamon,

Per limiti inferiori teorici, Pǎtrasçu in dx.doi.org/10.1137/09075336X commentato "Il seguente problema appare molto difficile: trattare uno sparse diretto grafico in meno di spazio, in modo tale che le query raggiungibilità (possono raggiungibili da ? ) ricevono una risposta efficace. Il problema sembra appartenere al folklore e non siamo a conoscenza di risultati positivi non banali. " Ha continuato a dimostrare un limite inferiore che consente i parametri, ma ha osservato "Nota, tuttavia, che il nostro limite inferiore è ancora molto lontano dalla durezza congetturata del problema". Quindi la risposta sembra essere: probabilmente no.

n^{2}

$n^2$

u

$u$

v

$v$

— András Salamon,

Vedi "Intervallo di etichettatura" e "Etichettatura a 2 hop" che sono apparentemente abbastanza efficienti nella pratica, sia nel tempo che nello spazio, e possono darti quello che vuoi. In generale, esiste una serie di schemi di "indicizzazione della raggiungibilità" per i DAG.

— JKFF
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