Problema

Ho un grafico non orientato (con bordi multipli), che cambierà nel tempo, nodi e bordi possono essere inseriti ed eliminati. Ad ogni modifica del grafico, devo aggiornare i componenti collegati di questo grafico.

Proprietà

Ulteriori proprietà sono che non verranno mai ricollegati due componenti. Ovviamente, il grafico può avere cicli fino a un importo arbitrario (altrimenti la soluzione sarebbe banale). Se un bordo non contiene un nodo n , non adotterà mai quel nodo. Tuttavia, se n ∈ e , può cambiare in n ∉ e .$e$$n$$n \in e$$n \notin e$

approcci

Finora ho due possibili approcci, ma come vedrai sono orribili:

Senza stato lento

Posso cercare (dfs / bfs) il grafico a partire dagli elementi modificati ogni volta. Ciò consente di risparmiare spazio, ma è lento poiché abbiamo O (n + m) per ogni modifica.

Approccio rapido (-er) (?) Con stato

Posso memorizzare tutti i percorsi possibili per ciascun nodo verso tutti i nodi possibili, ma se lo vedo correttamente, questo richiederà memoria O (n ^ 4). Ma non sono sicuro di come sia il miglioramento del runtime (se ce n'è uno, perché devo mantenere aggiornate le informazioni per ogni nodo nello stesso componente).

Domanda

Hai qualche suggerimento, come posso saperne di più su quel problema o forse su alcuni algoritmi su cui posso basarmi?

Nota

Se ci fosse un grande miglioramento in runtime / memoria potrei vivere con una soluzione non ottimale che a volte dice che due componenti sono uno, ma ovviamente preferirei una soluzione ottimale.

Esistono diverse strutture di dati che supportano inserimenti di bordi, eliminazioni di bordi e query di connettività (questi due vertici si trovano nello stesso componente collegato?) In tempo polillogaritmico.

• Monika R. Henzinger e Valerie King. Algoritmi di grafici completamente dinamici randomizzati con tempo pollogaritmico per operazione . Diario dell'ACM 46 (4): 502-516, 1999.

• Jacob Holm, Kristian de Lichtenberg e Mikkel Thorup. Algoritmi completamente dinamici deterministici poliarlogaritmici per connettività, minimo spanning tree, 2-edge e biconnectivity , Journal of ACM 48 (4): 723-760, 2001.

• Mikkel Thorup. Connettività grafica completamente dinamica quasi ottimale . Proc. 32 ° STOC 343—350, 2000.

Penso che tu stia cercando quello che viene chiamato l'algoritmo del grafico dinamico per la decomposizione dei componenti collegati. L'algoritmo di Holm, de Lichtenberg e Thorup [HLT01] ha ammortizzato il tempo pollogaritmico su ogni aggiornamento dei bordi. È passato molto tempo dall'ultima volta che ho esaminato il problema, quindi probabilmente ci sono progressi più recenti.

[HLT01] Jacob Holm, Kristian de Lichtenberg e Mikkel Thorup. Algoritmi completamente dinamici deterministici poliarlogaritmici per connettività, minimo spanning tree, 2-edge e biconnectivity. Journal of the ACM , 48 (4): 723–760, luglio 2001. http://doi.acm.org/10.1145/502090.502095

(Per ora lasciatemi attenermi alle query di connettività, che purtroppo potrebbero non essere sufficienti per la vostra applicazione.)

Molti dei lavori precedenti sul problema della connettività dinamica sono nel modello di aggiornamento dei bordi: si presume che il numero di vertici sia fisso e si possono inserire e / o eliminare i bordi mentre si eseguono query. Se puoi solo inserire (eliminare), questo è incrementale (decrementale). Se riesci a fare entrambe le cose, è completamente dinamico. Il lavoro di Thorup, come sottolineato da JeffE (e da me stesso nel commento), è tutto per gli aggiornamenti dei bordi.

AFAIK, la comunità della teoria CS sta solo iniziando a esaminare gli aggiornamenti dei vertici per i grafici generali. C'è stato un lavoro rivoluzionario su questo fatto da Chan, Pătraşcu e Roditty in FOCS 2008. Vedi questo link per una revisione molto recente (settembre 2010) e i riferimenti all'interno.