Come trovare interessanti problemi di ricerca

Nonostante diversi anni di lezioni, sono ancora in perdita quando si tratta di scegliere un argomento di ricerca. Ho esaminato documenti di diverse aree e parlato con professori e sto cominciando a pensare che questo sia l'approccio sbagliato.

Ho letto che aiuta a trovare un problema interessante (non importa la zona) e poi a lavorare su quello. I libri di testo menzionano quelli famosi irrisolti ma non vorrei affrontarli direttamente. I lavori di ricerca menzionavano solo risultati positivi, non tentativi falliti.

Come posso trovare interessanti problemi di ricerca? Come trovi interessanti problemi di ricerca? C'è una lista da qualche parte?

Come decidi se vale la pena lavorare su un problema particolare?

Sono fortemente in disaccordo con l'approccio "trova un elenco di problemi aperti". Di solito i problemi aperti sono piuttosto difficili da compiere e non sono affatto convinto che si faccia una buona ricerca affrontando alcuni problemi difficili ma poco interessanti in un'area tecnica.

Detto questo, ovviamente risolvere un problema aperto fa davvero bene alle credenziali accademiche. Ma non è quello che stai chiedendo.

La ricerca è un processo progettato per generare comprensione ad alto livello. Risolvere i problemi tecnici è un mezzo a tal fine: spesso il problema e la sua soluzione illuminano la struttura o il comportamento di alcuni fenomeni scientifici (una struttura matematica, una pratica linguistica di programmazione, ecc.).

Quindi il mio primo suggerimento è: trova un problema che vuoi capire. La ricerca riguarda fondamentalmente la confusione. Ci sono alcuni argomenti specifici che ti interessano, ma che ritieni di avere una comprensione fondamentalmente incompleta o che sembrano tecnicamente chiari, ma per i quali non hai una buona intuizione? Questi sono buoni punti di partenza. Segui i consigli di Terry Tao e poniti domande stupide! Molte buone ricerche derivano da queste considerazioni. In effetti, questa intera pagina contiene molti buoni consigli. Nota che se stai osservando un problema o un campo ben esplorato, è improbabile che tu ottenga subito intuizioni originali, quindi è importante leggere la letteratura contemporaneamente alle tue esplorazioni.

Secondo, non scartare la comunicazione con i tuoi professori. Chiedi loro delle loro ricerche, non necessariamente dei progetti che vogliono offrirti. Partecipa a una conversazione! Questo ti aiuta a scoprire a cosa sei interessato, ma anche come appare il panorama della ricerca nel loro campo. La ricerca non avviene nel vuoto, quindi dovresti parlare con i tuoi compagni, dottorandi nel tuo dipartimento, andare a conferenze e seminari nella tua università, ecc. Scoprirai che essere immersi in un ambiente di ricerca ti aiuta a fare una ricerca molto più che trovare un elenco o un problema specifico e bloccarti nel tuo ufficio.

Infine, suggerirei di lavorare su qualcosa di piccolo . La ricerca è dal basso molto più di quanto non sia dall'alto in basso, ed è raro che un compito molto semplice (scrivere una prova o un programma) risulti semplice come ci si aspettava. Fare diversi piccoli progetti che non sono su scala di ricerca (espandersi sui compiti a casa, scrivere una spiegazione di qualcosa che hai appreso) spesso si trasforma in cose autentiche a livello di ricerca. È comune provare a "diventare grandi" all'inizio, ma è proprio ora che funzionano i nostri cervelli.

David Hilbert è un rinomato matematico. Ha presentato un elenco di 23 problemi irrisolti al Congresso internazionale dei matematici di Parigi nel 1900.
Voglio solo citare una parte dell'intervista di Yuri Manin intitolata "Le buone prove sono prove che ci rendono più saggi" su Hilbert e la sua lista:

Il Congresso Internazionale di quest'anno è l'ultimo ICM di questo secolo. Pensi che un Hilbert sia ancora possibile? Ci sono problemi contemporanei corrispondenti ai problemi di Hilbert?
In realtà non credo che l'elenco di Hilbert abbia avuto un ruolo importante nella matematica di questo secolo. Certamente era psicologicamente importante per molti matematici. Ad esempio, Arnold disse che mentre era un giovane studente laureato aveva copiato l'elenco dei problemi di Hilbert sul suo taccuino e lo aveva sempre tenuto con sé. Ma quando Gelfand lo ha saputo, in realtà ha deriso Arnold su questo. Arnold vedeva la risoluzione dei problemi come una parte essenziale di grandi risultati matematici. Per me è diverso. Vedo il processo delle creazioni matematiche come una sorta di riconoscimento di un modello preesistente. Quando studi qualcosa - topologia, probabilità, teoria dei numeri, qualunque cosa - prima acquisisci una visione generale del vasto territorio, poi ti concentri su una parte di esso. Più tardi provi a riconoscere "cosa c'è?" E "cosa è già stato visto da altre persone?".
L'enfasi sul risolvere i problemi è una sorta di visione romantica: un grande eroe che conquista la montagna?
Sì, in qualche modo una sorta di visione sportiva. Non dico che è irrilevante. È abbastanza importante per i giovani, in quanto dispositivo psicologico per attirare i giovani a creare un riconoscimento sociale per grandi risultati. Un buon problema è l'incarnazione di una visione di una grande mente matematica, che non poteva vedere le vie che portavano a una certa altezza ma che riconosceva l'esistenza di una montagna. Ma non è un modo di vedere la matematica, né il modo di presentare la matematica a un grande pubblico. E non è l'essenza. Soprattutto quando tali problemi vengono inseriti nell'elenco, è qualcosa di simile a un elenco di capitali di grandi paesi del mondo: trasmette il minimo possibile di informazioni. In realtà non credo che Hilbert pensasse che questo fosse il modo di organizzare la matematica.

questa è in definitiva una domanda soggettiva e personale e "nel lungo periodo" quali problemi sono considerati importanti in qualche modo vanno e vengono dalla moda scientifica, ma possono esserci alcune linee guida comuni approssimative con cui molti sarebbero d'accordo, e anche i migliori esperti hanno considerata la domanda. i problemi sono abbastanza onnipresenti ed è più un processo di restringimento.

• Il numero 1 nella lista è quasi sempre, parla con il tuo consulente! fa parte del loro lavoro e se non è disponibile con idee che forse non è un grande segno e considera che potresti trarne beneficio o bisogno di un altro.

• a cosa stanno lavorando molte persone nella tua università? ogni università in genere ha particolari specializzazioni e ci sarà entusiasmo o anche eccitazione per particolari aree / problemi.

• guarda i premi sul campo per vedere quali aree studiano o premi. nel TCS il premio Turing , il premio Godel , il premio Nevanlinna , i premi del millennio . ovviamente questi sono per lavori di altissimo livello, ma per natura comprendono tutti grandi aree dove c'è lavoro incrementale.

• I migliori blog di TCS sono un'ottima fonte di prendere il polso dell'interesse della comunità per vari problemi.

anche per rispondere a questa domanda potrebbe essere perspicace "tornare alle radici" nel senso seguente. uno dei maestri leggendari in quest'area tra i più grandi record possibili è Hilbert il matematico, e molte delle sue idee fondamentali sulla selezione dei problemi si applicano e vale la pena rivedere / studiare. molti dei suoi problemi aperti che hanno guidato la matematica alla fine del 20 ° secolo si sono rivelati avere connessioni sorprendenti / profonde con la teoria algoritmica, ad esempio l'indecidibilità, ad esempio Godel, il problema di Halting e il decimo problema fondamentale . i suoi punti di vista sono riassunti da Lagarias, secondo 9 nel valutare la congettura di Collatz come un "buon problema":

È difficile e spesso impossibile giudicare correttamente il valore di un problema in anticipo; per il premio finale dipende dal guadagno che la scienza ottiene dal problema. Tuttavia, possiamo chiederci se esistono criteri generali che segnano un buon problema matematico. Un vecchio matematico francese ha detto: "Una teoria matematica non deve essere considerata completa fino a quando non lo avrai reso così chiaro da poterlo spiegare al primo uomo che incontri per strada." Questa chiarezza e facilità di comprensione, qui ha insistito su per una teoria matematica, dovrei ancora più richiedere un problema matematico se deve essere perfetto; poiché ciò che è chiaro e facilmente comprensibile attrae, il complicato ci respinge. Inoltre, un problema matematico dovrebbe essere difficile per attirarci, ma non completamente inaccessibile, per non deridere i nostri sforzi. Dovrebbe essere per noi un posto di guida sui percorsi pazzi per le verità nascoste, e in definitiva un promemoria del nostro piacere nella sua soluzione di successo.

Lagarias riassume questi elementi come:

1. Il problema è chiaro e semplicemente dichiarato problema?
2. È un problema difficile?
3. Sembra accessibile e non "deride i nostri sforzi per risolverlo"?

sfortunatamente molti problemi aperti falliscono al n. 3 ma, come detto, ci sono sempre problemi e rilassamenti nelle vicinanze che sono considerati più accessibili e anche solo formulare questi rilassamenti può essere considerato parte di una valida ricerca.