Decomposizioni grafiche per combinare funzioni "locali" delle etichette dei vertici

Supponiamo di voler trovare o

\sum_{x} \prod_{i j \in E} f (x_{i}, x_{j})

$\sum_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

max_{x} \prod_{i j \in E} f (x_{i}, x_{j})

$\max_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

Dove è preso max o somma su tutte le etichettature di $V$ , prodotto è preso in tutti i bordi $E$ per un grafo $G=\{V,E\}$ e $f$ è una funzione arbitraria. Questa quantità è facile da trovare per i grafici con larghezza dell'albero limitata e in generale NP-hard per i grafici planari. Il numero di coloranti corretti, il massimo set indipendente e il numero di sottografi euleriani sono esempi speciali del problema sopra. Sono interessato a schemi di approssimazione temporale polinomiale per problemi di questo tipo, in particolare per i grafici planari. Quali decomposizioni grafiche sarebbero utili?

Modifica 11/1 : Ad esempio, mi chiedo quali siano le decomposizioni che potrebbero essere analoghe alle espansioni di cluster della fisica statistica (ad esempio, l'espansione di Mayer). Quando $f$ rappresenta interazioni deboli, tali espansioni convergono, il che significa che è possibile ottenere la precisione data con $k$ termini dell'espansione indipendentemente dalla dimensione del grafico. Ciò non implicherebbe l'esistenza di PTAS per la quantità?

Aggiornamento 02/11/2011

Le espansioni ad alta temperatura riscrivono la funzione di partizione $Z$ come somma di termini in cui termini di ordine superiore dipendono da interazioni di ordine superiore. Quando "le correlazioni decadono", i termini di ordine elevato decadono abbastanza velocemente in modo che quasi tutta la massa di $Z$ sia contenuta in un numero finito di termini di ordine inferiore.

Ad esempio, per il modello Ising si consideri la seguente espressione della sua funzione di partizione

Z = \sum_{x \in X} \exp J \sum_{i j \in E} x_{i} x_{j} = c \sum_{A \in C} (\tanh J)^{| A |}

$Z=\sum_\mathbf{x\in \mathcal{X}} \exp J \sum_{ij \in E} x_i x_j = c \sum_{A\in C} (\tanh J)^{|A|}$

Qui $c$ una costante semplice, $C$ è un insieme di sottografi euleriani del nostro grafico, $|A|$ è il numero di lati in sottografo $A$ .

Abbiamo riscritto la funzione di partizione come somma sui sottografi in cui ogni termine della somma è esponenzialmente penalizzato dalla dimensione del sottografo. Ora raggruppa i termini con lo stesso esponente insieme e la approssimativa $Z$ prendendo i primi $k$ termini. Quando il numero di sottografi euleriani di dimensione $p$ non cresce troppo velocemente, l'errore della nostra approssimazione decade esponenzialmente con $k$ .

Il conteggio approssimativo è difficile in generale, ma facile per le istanze di "decadimento della correlazione". Ad esempio, nel caso del modello di Ising, c'è un decadimento di correlazione quando $f(k)$ cresce più lentamente di $(\tanh J)^k$ dove $f(k)$ è il numero di sottografi euleriani di dimensione $k$ . Credo in tal caso, il troncamento dell'espansione ad alta temperatura dà un PTAS per $Z$

Un altro esempio è il conteggio di insiemi indipendenti ponderati: è trattabile per qualsiasi grafico se il peso è abbastanza basso perché è possibile far decadere la correlazione con il problema. La quantità viene quindi approssimata contando gli insiemi indipendenti nelle regioni di dimensioni limitate. Credo che il risultato STOC'06 di Dror Weitz implichi che il conteggio di insiemi indipendenti non ponderati è possibile per qualsiasi grafico con massimo grado 4.

Ho trovato due famiglie di decomposizioni "locali": i grafici a grappolo Bethe e i grafici della regione di Kikuchi. La decomposizione di Bethe essenzialmente ti dice di moltiplicare i conteggi nelle regioni e dividere per i conteggi nelle sovrapposizioni delle regioni. Il metodo del grafico della regione di Kikuchi migliora su questo, tenendo conto del fatto che le sovrapposizioni di regioni possono esse stesse sovrapporsi, usando il tipo di correzione "inclusione-esclusione".

Un approccio alternativo è di scomporre il problema in parti trattabili globali, come in "Inferenza variabile su spazi combinatori". Tuttavia, le decomposizioni locali consentono di controllare la qualità dell'approssimazione selezionando la dimensione della regione

— Yaroslav Bulatov
fonte

Quello che voglio dire è troppo lungo per (ma davvero dovrebbe essere) un commento.

Se sto leggendo correttamente la domanda, si desidera un FPRAS (schema di approssimazione completamente polinomiale randomizzato) per una delle quantità di cui sopra, ognuna delle quali include vari problemi # P completi come casi speciali. In particolare, si desidera una FPRAS generale nel caso di grafici planari, mediante l'espansione del cluster.

Dubito che ciò sia possibile a causa del fatto che la completezza NP del problema dell'esistenza (ad es. Colorazione corretta) implica che il corrispondente problema di conteggio (ad es. Numero di colorazioni appropriate) sia completo in #P rispetto alla riducibilità AP (approssimazione- preservando). Vedi Dyer, Goldberg, Greenhill e Jerrum, Algorithmica (2004) 38: 471-500.

Ma forse ho letto male la domanda.

(In realtà, saresti in grado di spiegare ai non iniziati il significato delle espansioni ad alta temperatura?)

— RJK
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Ho risposto alla mia domanda

— Yaroslav Bulatov,

@Yaroslav: grazie per l'ampio chiarimento! A proposito, per "regione" intendi "sottoinsieme di vertici"? (Questo è quello che vedo quando guardo Heske, JAIR 26 (2006), 153-190.) Quindi in effetti sembra che tu cerchi specifici FPRAS (cioè, con scelte particolari di f) per classi specifiche (come il grado di la maggior parte dei 4) dei grafici planari usano ciò che si chiama "decomposizione dei grafi" (che è un termine molto sovraccarico, per essere onesti). È corretto?

— RJK,

Sì, le regioni sono sottoinsiemi di vertici e sono interessato a PTAS per classi di grafici "trattabili". A proposito, ecco un esempio elaborato di una decomposizione del cluster per contare set indipendenti che penso possano essere trasformati in PTAS per istanze con decadimento di correlazione - yaroslavvb.blogspot.com/2011/02/…

— Yaroslav Bulatov