Gioco di assunzione di segretaria

Questa è un'estensione del classico problema del segretario .

Nel gioco delle assunzioni hai una serie di candidati e ordina la competenza di ciascun lavoratore. $\mathcal C=\{c_1,\ldots,c_N\}$

Wlog, supponiamo che sia il più abile, seguito da , ecc. $c_1$ $c_2$

L'ordine in cui il colloquio tra i candidati viene scelto in modo uniforme a caso ed è (ovviamente) sconosciuto ai datori di lavoro.

Supponiamo ora di avere un mercato con 2 potenziali datori di lavoro. In ogni round, un nuovo candidato sta intervistando per entrambe le società (chiamale ). Durante l'intervista, sia che osservano l'ordinamento parziale di tutti i candidati precedenti, incluso l'attuale intervistato. Le aziende decidono quindi (indipendentemente) se assumere il candidato di oggi. $A,B$ $A$ $B$

Purtroppo per , non può competere economicamente con un'offerta s', quindi, se sia estende l'offerta per un lavoratore, ottiene la preferenza. $B$ $A$ $A$

Inoltre, una volta che un segretario firma, la società non può intervistare altri candidati e il concorrente viene a conoscenza della firma .

L'obiettivo di ciascuna società è assumere il candidato più qualificato (al contrario del classico problema, in cui una singola azienda desidera trovare il miglior segretario), poiché è noto che la società con il migliore segretario dovrebbe essere in grado di assumere mercato.

Qual è la strategia ottimale come la grande impresa ( )? $A$

Che dire dell'azienda più piccola ( )? $B$

Se entrambe le società svolgono le proprie strategie di equilibrio, qual è la probabilità che ottenga il lavoratore migliore? $B$

In un lavoro correlato , Kalai et al. discute la versione simmetrica di questo problema, in cui entrambe le società hanno lo stesso potere di attrarre candidati.

In questo contesto, il semplice equilibrio (simmetrico) è l'assunzione di una segretaria se la possibilità che lei sia migliore dei candidati rimanenti è almeno del 50%.

Come cambia questo risultato nella nostra impostazione?

ds.algorithms gt.game-theory

— RB
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$A$

$> .5$ $A$ $> .5$ $A$ $B$ $A$ $< .5$ $A$ $B$

$.5$ $A$ $B$ $B$ $.5$

$A$ $>= .5$ $B$ $> .5$ $A$ $>= .5$

$A$ $> .5$

$B$ $A$ $A$ $B$ $B$ $A$ $> .5$ $B$ $A$ $B$

$B$ $<= .5$

$.5 - \epsilon$ $> .5 + \epsilon$ $B$

$d_r$ $r$ $1 <= r <= N$

$B$ $d_r$

$p_{r,i}$ $d_r$ $d_r$ $i$

$p_{r,i} =$ $d_s < d_r$ $s > r$

$= (1-\frac{i}{r+1})(1-\frac{i}{r+2})\times ... \times (1-\frac{i}{N})$

...

$= \frac{(N-i)!r!}{(r-i)!N!}$

$p_{r,i}$

$P_{B,r}$ $B$ $1$ $r-1$

$B$ $d_r$ $d_r$ $P_{B,r+1}$

$P_{B,N} = 0$ $A$ $B$

$N-1$ $B$ $A$

P_{B, N - 1} = \sum_{i = 1}^{N - 1} \frac{1}{N - 1} {\begin{array}{lcl} p_{N - 1, i} & : & p_{N - 1, i} < .5 \\ 1 - p_{N - 1, i} & : & p_{N - 1, i} >= .5 \end{array}

$P_{B,N-1} = \sum_{i=1}^{N-1}\frac{1}{N-1} \left\{ \begin{array}{lcl} p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} < .5 \\ 1-p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} >= .5 \end{array} \right.$

Il che porta alla funzione ricorsiva:

P_{B, r} = \sum_{i = 1}^{r} \frac{1}{r} {\begin{array}{lcl} 1 - p_{r, i} & : & p_{r, i} >= .5 \\ p_{r, i} & : & P_{B, r + 1} < p_{r, i} < .5 \\ P_{B, r + 1} & : & else \end{array}

$P_{B,r} = \sum_{i=1}^{r}\frac{1}{r} \left\{ \begin{array}{lcl} 1-p_{r,i} & : & p_{r,i} >= .5 \\ p_{r,i} & : & P_{B,r+1} < p_{r,i} < .5 \\ P_{B,r+1} & : & \text{else} \end{array} \right.$

$P_{B,r}$ $B$ $P_{B,1}$ $N$

$B$ $N$ $N$ $B$

— bbejot
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