Una spiegazione puramente teorica dei grafici della riduzione da Unique Label Cover a Max-Cut


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Sto studiando la congettura dei giochi unici e la famosa riduzione a Max-Cut di Khot et al. Dal loro articolo e altrove su Internet, la maggior parte degli autori usa (cosa per me è) un'equivalenza implicita tra la riduzione di MAX-CUT e la costruzione di test particolari per codici lunghi. A causa della mia mancanza di chiarezza su tale equivalenza, faccio fatica a seguire questo treno di pensieri.

Sembra anche chiaro da queste esposizioni che si potrebbe descrivere la riduzione in termini puramente grafici, ma che per coincidenza o preferenza nessuno sceglie di farlo in quel modo. Ad esempio, in queste note di O'Donnell suggerisce che il test con codice lungo corrisponde a una definizione naturale dei bordi nel grafico in fase di costruzione, ma poiché non è precisato che la regola sembra dipendere dalla scelta di un taglio definire la funzione booleana in fase di test e mi ha lasciato piuttosto confuso.

Quindi sto chiedendo a qualcuno di spiegare la riduzione "solo" graficamente teoricamente. Penso che questo mi aiuterà a capire l'equivalenza tra i due punti di vista.

Risposte:


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Fammi vedere se posso chiarire questo, ad alto livello. Supponiamo che l'istanza UG sia un grafico bipartito , biiezioni { π e } e E , dove π e : Σ Σ e | Σ | = m . Volete costruire un nuovo grafico H in modo che se l'istanza UG sia soddisfacente 1 - δ , allora H abbia un taglio ampio e se l'istanza UG non sia nemmeno δ- soddisfacente, alloraG=(VW,E){πe}eEπe:ΣΣ|Σ|=mH1δHδ ha solo tagli molto piccoli.H

Il grafico contiene, per ciascun vertice in W , una nuvola di 2 m punti, ciascuno etichettato da alcuni x { - 1 , 1 } Σ . L'intenzione è che si dovrebbe essere in grado di interpretare un lungo codice di codifica delle etichette di W come un taglio di H . Ricordiamo che per codificare alcuni σ Σ con il codice lungo, si utilizza una funzione booleana f : { - 1 , 1 } Σ{ - 1 , 1 }HW2mx{1,1}ΣWHσΣf:{1,1}Σ{1,1}; in particolare è la funzione dittatore . Produciamo un taglio S T (cioè la bi-partizione dei vertici) dalla codifica del codice lungo come segue. Se w W ha un'etichetta codificata dalla funzione booleana f , vai sulla nuvola di vertici in H corrispondente a w e inserisci in S tutti i vertici nella nuvola che sono etichettati da una x per cui f ( x ) = 1 . Tutti gli altri vanno a Tf(x)=xσSTwWfHwSxf(x)=1T. Si può fare questo a ritroso per assegnare le funzioni booleane a tutti sulla base di un taglio di H .wWH

Affinché la riduzione funzioni, devi essere in grado di dire solo osservando il valore di un taglio ST se le funzioni booleane corrispondenti al taglio sono vicine a un lungo codice che codifica alcune assegnazioni di etichette a che soddisfa un sacco di vincoli ug di G . Quindi la domanda è quali informazioni possiamo ottenere dal valore di un taglio S T . Considerare ogni due vertici una con etichetta x nella nube corrispondenti a w e b con etichetta y nella nube corrispondente a w 'WGSTaxwbyw(nella riduzione guardiamo solo , w in nuvole diverse). Abbiamo detto che il taglio può essere utilizzato per le funzioni booleane Derive f w e f w ' . Ora se c'è un bordo ( a , b ) in H , allora ( a , b ) viene tagliato se e solo se f w ( x ) f w ( y )wwfwfw(a,b)H(a,b)fw(x)fw(y). Pertanto, usare solo il valore di un taglio per dire se le funzioni booleane che induce sono "buone" è lo stesso di avere un test che, date le funzioni booleane , chiede solo quale frazione di un elenco specificato di coppie ( ( w , x ) , ( w , y ) ) abbiamo f w ( x ) f w ( y ) .{fw}wW((w,x),(w,y))fw(x)fw(y)

In altre parole, ogni volta che Ryan dice nelle note "test if ", ciò che realmente intende è "in H , aggiungi un bordo tra il vertice nella nuvola di w etichettato da x e il vertice nella nuvola di w etichettato da y ". Vale a dire per ogni v V , ogni due dei suoi vicini w , w e ogni x , y { - 1 , 1 }fw(x)fw(y)HwxwyvVw,w , includere il bordo tra il vertice nella nube di w etichettati da x ¸ v , w e il vertice nella nube di w ' etichettati da y ¸ v , w ' , e assegnare il peso bordo ( ( 1 - ρ ) / 2 ) d ( ( 1 + ρ ) / 2 ) n - d dove d è la distanza di Hamming tra xx,y{1,1}nwxπv,wwyπv,w((1ρ)/2)d((1+ρ)/2)nddxe . In questo modo il valore di un taglio diviso per il peso totale del bordo è esattamente uguale alla probabilità di successo del test.y


Questa è una risposta eccellente, che dovrò studiare in modo più approfondito. Ho una piccola domanda di follow-up: dovrei essere sospettoso che una riduzione che mi aspetto sia deterministica abbia ancora questa componente randomizzata di generare un ? μ
Jeremy Kun,

Siamo spiacenti, questo viene simulato aggiungendo i bordi per tutti i vettori nel supporto di e assegnando i pesi dei bordi proporzionali alle probabilità. Fisso. xμ
Sasho Nikolov,
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