Una spiegazione puramente teorica dei grafici della riduzione da Unique Label Cover a Max-Cut

Sto studiando la congettura dei giochi unici e la famosa riduzione a Max-Cut di Khot et al. Dal loro articolo e altrove su Internet, la maggior parte degli autori usa (cosa per me è) un'equivalenza implicita tra la riduzione di MAX-CUT e la costruzione di test particolari per codici lunghi. A causa della mia mancanza di chiarezza su tale equivalenza, faccio fatica a seguire questo treno di pensieri.

Sembra anche chiaro da queste esposizioni che si potrebbe descrivere la riduzione in termini puramente grafici, ma che per coincidenza o preferenza nessuno sceglie di farlo in quel modo. Ad esempio, in queste note di O'Donnell suggerisce che il test con codice lungo corrisponde a una definizione naturale dei bordi nel grafico in fase di costruzione, ma poiché non è precisato che la regola sembra dipendere dalla scelta di un taglio definire la funzione booleana in fase di test e mi ha lasciato piuttosto confuso.

Quindi sto chiedendo a qualcuno di spiegare la riduzione "solo" graficamente teoricamente. Penso che questo mi aiuterà a capire l'equivalenza tra i due punti di vista.

Fammi vedere se posso chiarire questo, ad alto livello. Supponiamo che l'istanza UG sia un grafico bipartito , biiezioni { π e } e ∈ E , dove π e : Σ → Σ e | Σ | = m . Volete costruire un nuovo grafico H in modo che se l'istanza UG sia soddisfacente 1 - δ , allora H abbia un taglio ampio e se l'istanza UG non sia nemmeno δ- soddisfacente, allora$G = (V \cup W, E)$$\{\pi_e\}_{e \in E}$$\pi_e\colon \Sigma \to \Sigma$$|\Sigma| = m$$H$$1-\delta$$H$$\delta$ ha solo tagli molto piccoli.$H$

Il grafico contiene, per ciascun vertice in W , una nuvola di 2 m punti, ciascuno etichettato da alcuni x ∈ { - 1 , 1 } Σ . L'intenzione è che si dovrebbe essere in grado di interpretare un lungo codice di codifica delle etichette di W come un taglio di H . Ricordiamo che per codificare alcuni σ ∈ Σ con il codice lungo, si utilizza una funzione booleana f : { - 1 , 1 } Σ → { - 1 , 1 $H$$W$$2^m$$x \in \{-1, 1\}^\Sigma$$W$$H$$\sigma \in \Sigma$$f\colon \{-1, 1\}^\Sigma \to \{-1, 1\}$; in particolare è la funzione dittatore . Produciamo un taglio S ∪ T (cioè la bi-partizione dei vertici) dalla codifica del codice lungo come segue. Se w ∈ W ha un'etichetta codificata dalla funzione booleana f , vai sulla nuvola di vertici in H corrispondente a w e inserisci in S tutti i vertici nella nuvola che sono etichettati da una x per cui f ( x ) = 1 . Tutti gli altri vanno a $f(x) = x_\sigma$$S\cup T$$w \in W$$f$$H$$w$$S$$x$$f(x) = 1$$T$. Si può fare questo a ritroso per assegnare le funzioni booleane a tutti sulla base di un taglio di H .$w \in W$$H$

Affinché la riduzione funzioni, devi essere in grado di dire solo osservando il valore di un taglio $S\cup T$ se le funzioni booleane corrispondenti al taglio sono vicine a un lungo codice che codifica alcune assegnazioni di etichette a che soddisfa un sacco di vincoli ug di G . Quindi la domanda è quali informazioni possiamo ottenere dal valore di un taglio S ∪ T . Considerare ogni due vertici una con etichetta x nella nube corrispondenti a w e b con etichetta y nella nube corrispondente a w $W$$G$$S \cup T$$a$$x$$w$$b$$y$$w'$(nella riduzione guardiamo solo , w ′ in nuvole diverse). Abbiamo detto che il taglio può essere utilizzato per le funzioni booleane Derive f w e f w ' . Ora se c'è un bordo ( a , b ) in H , allora ( a , b ) viene tagliato se e solo se f w ( x ) ≠ f w ′ ( y $w$$w'$$f_w$$f_{w'}$$(a,b)$$H$$(a, b)$$f_w(x) \neq f_{w'}(y)$. Pertanto, usare solo il valore di un taglio per dire se le funzioni booleane che induce sono "buone" è lo stesso di avere un test che, date le funzioni booleane , chiede solo quale frazione di un elenco specificato di coppie ( ( w , x ) , ( w ′ , y ) ) abbiamo f w ( x ) ≠ f w ′ ( y ) .$\{f_w\}_{w \in W}$$((w, x), (w', y))$$f_w(x) \neq f_{w'}(y)$

In altre parole, ogni volta che Ryan dice nelle note "test if ", ciò che realmente intende è "in H , aggiungi un bordo tra il vertice nella nuvola di w etichettato da x e il vertice nella nuvola di w ′ etichettato da y ". Vale a dire per ogni v ∈ V , ogni due dei suoi vicini w , w ′ e ogni x , y ∈ { - 1 , 1 $f_w(x) \neq f_{w'}(y)$$H$$w$$x$$w'$$y$$v\in V$$w, w'$ , includere il bordo tra il vertice nella nube di w etichettati da x ∘ ¸ v , w e il vertice nella nube di w ' etichettati da y ∘ ¸ v , w ' , e assegnare il peso bordo ( ( 1 - ρ ) / 2 ) d ( ( 1 + ρ ) / 2 ) n - d dove d è la distanza di Hamming tra$x,y \in \{-1, 1\}^n$$w$$x\circ \pi_{v,w}$$w'$$y \circ \pi_{v,w'}$$(({1-\rho})/{2})^d(({1+\rho})/{2})^{n-d}$$d$$x$e . In questo modo il valore di un taglio diviso per il peso totale del bordo è esattamente uguale alla probabilità di successo del test.$y$